静止している剛体球Aに、同じく剛体である球Bを斜めに衝突させると、

 衝突後の球A、球Bの動く方向は、衝突時の球A、球Bの位置が決まれば 

 おのずと判るのですか。そうであれば どのようなルールに基ずいているのか

 教えて下さい。

 
 

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A 回答 (4件)

>? Zincerさんの


>VB1x-VA1x=VA0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
>(V0cosθ=)VA0x=VA1x+VB1x ・・・(2)’
>の連立って、答えがでないような? (VA1x=0?)
失礼しました。私の計算は速度V0を持つ球Aを、静止している球Bに衝突させた場合ですね。
tokomaiwasaさんの設定と逆の為、tococheさんの誤解を招いたものと思いますが、考え方は一緒です。
上の式をtokomaiwasaさんの設定の場合に修正しますと、(添え字のAとBをいれかえるだけですが)
VA1x-VB1x=VB0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
(V0cosθ=)VB0x=VB1x+VA1x ・・・(2)’
となり、
VB1x=0
VA1x=VB0x=V0cosθ
ついでにy軸方向は(衝突前後で変化無し)
VB1y=V0sinθ
VA1y=0
と、なりますね。

修正ついでに補足しておきますが、tococheさんの
>同時にエネルギー保存の法則が成立するもののみが、解として生き残ると考えています。
という、表現には誤解がはいっていませんか?たしかに(総)エネルギーは保存されるでしょうが、私の言った「運動エネルギー」は保存されません。
極例として、θ=0°(正面衝突?)、μ=0(衝突と同時に接合し球ABが一緒に動く場合:brogieさんの言葉を借りれば「完全非弾性衝突」)を考えて見ましょう。(ちなみにμ=1の場合を「完全弾性衝突」と呼びます。これ以外を「非弾性衝突」と呼びます。)
【衝突前】
M・V0^2/2
【衝突後】
計算は省きますが、質量が2Mになるので、
VA=VB=1/2V0 ですから
[2M・(1/2V0)^2]/2=M・V0^2/4
と、運動エネルギーは衝突前の半分になります。
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この回答へのお礼

 ご丁寧なお答え感謝致します。tococheさんに対するお答えも、助けと

 なり何とか理解できました。本当に有難う御座いました。これからも宜しく

 お願い致します。
  
 

お礼日時:2001/10/12 21:18

tococheです。



? Zincerさんの
VB1x-VA1x=VA0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
(V0cosθ=)VA0x=VA1x+VB1x ・・・(2)’
の連立って、答えがでないような? (VA1x=0?)

衝突後の挙動は運動量保存の法則に従いますが、運動量保存の法則を満たす速度の組み合わせはいっぱいあるので、同時にエネルギー保存の法則が成立するもののみが、解として生き残ると考えています。

この直角解については、中学のときに読んだ物理の本(もう持っていない)に粒子の軌跡を示した図があり、「衝突後の軌跡は運動量保存の法則に従い直角となる」とあったので、運動量保存の法則を知ったとき直角解を図形的に見て、なるほどと納得しました。(運動エネルギーの方は、そのまんま三平方の定理でOKですから)
直角解を数学的に導き出したわけではないので、数学的なことはちょっと弱いですが。
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この回答へのお礼

 tococheさんの質問を絡めたZincerさんの説明から、何とか
 
 理解するこたができました。ありがとう御座いました。

お礼日時:2001/10/12 21:25

一応回答が得られているみたいですが、私のわかる範囲で条件を拡張しておきます。


1.無重量空間に2つの球は浮いているとします。
(床面でも摩擦の無い状態で滑っていけば同条件ですが、回転運動が入るとbrogieさんの仰るようにより複雑な式が必要になるため、パスさせてください。)
2.抵抗、両球間の摩擦及び万有引力は無視します。
(永遠に球の運動は止まることはありませんが、勘弁してください。)

すべての衝突(接触)直前の両球間の速度が、

↓(V0)
○●  ~  →○●
θ=90   θ=0
(後の説明の為 →:x軸  ↓:y軸とします)

の間にあることはご理解いただけますでしょうか?
(tococheさんの回答のθ(0~90°)と対応させています。)
後は下式で定義される跳ね返り係数μが与えられれば、衝突前後のそれぞれの球の速度は計算されます。(tococheさんの回答はμ=1とした場合で、剛体球の場合はμ≒1として良いはずです。)
μ=(VA0x-VB0x)/(VB1x-VA1x) ・・・(1)
<要するにx軸方向(両球間の中心軸方向)の両球間の相対速度の比に-1を掛けたもの。>
tokomaiwasaさんの条件の場合は
VB1x-VA1x=VA0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
【VA0x,VA1x は球Aの衝突前(0)と後(1)のx軸方向の速度を意味しています。】

ここでもう1つx軸方向の運動量保存則を適応します。
MA×VA0x+MB×VB0x=MA×VA1x+MB×VB1x ・・・(2)

tokomaiwasaさんの条件(MA=MB?)の場合は
(V0cosθ=)VA0x=VA1x+VB1x ・・・(2)’
【MA,MBは球ABの質量】
これで衝突後の両球のx軸方向の速度が算出されます。(tococheさんの回答は(1)’と(2)’の連立方程式から得られる解です。)

両球間に摩擦が無い場合はy軸方向のそれぞれの速度成分は変化しません。衝突後の速度はそれぞれのx軸方向とy軸方向の速度ベクトルの和のなります。

一応補足しておきますが、衝突前後で運動エネルギーの総和が保存されるのはμが1の場合のみです。

こんなもんでいかがでしょうか?
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弾性衝突か非弾性衝突か?
など、tokomaiwasaさんが以前質問されておられる、コインの問題より複雑になるでしょう?
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この回答へのお礼

 
 お答え有難う御座いました。お礼が遅くなり申し訳御座いませんでした。

 色んな要素が絡み複雑ですね。今しばらく考えて見ます。

お礼日時:2001/10/12 20:39

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(θ')^2 = {F / (m L)} sinθ。 (3)
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t = 0 で θ = 0、θ' = 0
より、積分定数が 0 であることを考慮しました。

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= {3 F / (2 m)} cosθ sinθ。 (4)

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これと(4)から
T = m v' / cosθ
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結局、T は A, B の質量にも、棒の長さにも依存せず、加えられる力と回転角で決まることがわかります。

F = 1 [N] であれば、T = 1.5 sinθ [N] です。

何となく、もっと簡単な考察から(6)を導けるような気がするのですが・・・。

---

なお、上の(5)では棒からの力が棒に平行な方向にのみ働くとしていますが、棒に垂直な方向にも力が働くのではないだろうかという疑問をもたれるかもしれません。この点について調べるために、B の x 方向の運動を考えてみましょう。

B の x 方向の速度を u 、A, B の重心の x 方向の速度を ug とすると
u = ug - L θ' cosθ、
u' = ug' - L (θ'' cosθ - θ' sinθ・θ')。 (7)

ここで、重心の運動方程式より
2 m ug' = F、
ug' = F / (2 m)。 (8)

(7),(8),(2),(3)より
u' = F / (2 m) - L [{F / (2 m L)} (cosθ)^2 - {F / (m L)} (sinθ)^2]
  = (F / 2 m) {1 - (cosθ)^2 + 2 (sinθ)^2}
  = (3 F / 2 m) (sinθ)^2。 (9)

(4),(9)より、
(m u') : (m v') = sinθ : cosθ。
よって、B に働く力の方向は棒に平行であることが確認できました。
当然ですが、その力の大きさは
T = {(m u')^2 + (m v')^2}^(1/2)
 = (3 F / 2) sinθ。
で、(6)と同じになります。

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