無理関数 y = √(2x+1) と直線 y = x-1 の交点の座標を求めよ
解答
無理関数 y = √(2x+1) の定義域は x >= -1/2, 値域は y >= 0 である
√(2x+1) = x-1 の両辺を2乗すると、
2x+1 = (x-1)^2
x^2 - 4x = 0
x(x-4) = 0
x = 0,4
無理関数の値域を考えると、この方程式の解は x = 4 だけとなる。よって、交点の座標は (4,3).
となっているのですが
定義域と値域はどのようにしてもとめるのですか。
また、
無理関数の値域を考えると、この方程式の解は x = 4 だけとなる.とありますが、
x = 0,4 を y = √(2x+1) に当てはめて、値域 y >= 0 であればいいのですか。この場合、どちらもいいように思うのですが、どうなんでしょうか。
よくわからないので、よろしくお願いします。
最後に、この問題とは関係ないんですが、√0 = 0 ですか。
A 回答 (5件)
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No.4
- 回答日時:
定義域と値域の求め方は皆さまのおっしゃるとおり。
ただし、「ルートの値は正」ではなく「ルートの値は正か0」です。0を落とすとえてして不正解とされます。
後の方の質問は、x=0 を 二つの式に入れてみるとわかります。y=x-1 に入れると y=-1 になってしまうでしょ? でも y = √(2x+1) の値域は正かゼロなんだから y=-1 はおかしいといってるわけです。
でもって、なんでこういうチェックが要るかというと、答えを求めるときに等式の両辺を二乗しているからです。このとき、
√(2x+1) = x-1
の解と同時に
-√(2x+1) = x-1
の解も紛れ込んでくることになるわけです。
どちらの解であるかを判別するために、√(2x+1) の値域を見る必要があります。
この回答への補足
別の問題なのですが、
次の方程式を解け
√(2x+3) - √(x+1) = 1
解答
2x+3 >= 0, x+1 >= 0 より x >= -1 ....(1)
√(2x+3) - √(x+1) = 1 ⇔ (x+1)(x-3) = 0
よって、(1)より、x = 3.
この場合
x = -1,3ですよね。
-1も(1)を満たしていると思うんですが、わからないのでお願いします。
No.3
- 回答日時:
○(2x+1)がマイナスになるとどうなるか、そんなことがあるのでしょうか?
○yの値がマイナスになるということはどういうことでしょう。つまり√(2x+1)がマイナスになることはあるのでしょうか?
ここにヒントがあります。
No.2
- 回答日時:
ルートの中は正でないといけないので、
(2x+1) >=0から x >= -1/2,
ルートは必ず正なので、y >= 0
また、x=0のとき、y=x-1からx=0のとき、y=-1となり、
これは無理関数の地域にあてはまらないから不適となります。
√0=0です。
No.1
- 回答日時:
定義域は√の中身が正であることから求めます。
値域は√の値は正しかありえないので。
「無理関数の値域を考えると」ではなくて、「無理関数の定義域を考えると」が正しいと思います。
√0 = 0 です。
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