円錐を水平に切ったときの断面図は、円になりますが、円錐を傾けていくと断面図の円は、どのように変化するのでしょうか?式での表現がうまくいきません。

A 回答 (2件)

原点に頂点があり,軸がz軸になっている円錐の方程式は


(1)  ax^2 + ay^2 - z^2 = 0
(a は正の定数)ですから,
平面の式と連立させればOKです.

a=1 の場合の円錐を xz 平面で見たのが下図です
普通の円錐は z<0 の部分ですが,z>0 には逆立ちした円錐があると思ってください.
こうしておくと,双曲線が見やすいのです.


      z  
  \   │   /
   \  │  /
    \ │ /
     \│/
  ───────── x
     /│\
    / │ \
   /  │  \
  /   │   \


xy 平面に平行な面で切るなら,例えば z=1 と連立させて
切り口は
(2)  x^2 + y^2 = 1
で,円.

以下同様ですので,細かい計算はお任せします.

少し傾けて,z = (x/2) - 1 で切るなら,(1)と連立させて楕円の式になります.

z = x - 1 (母線に平行)で切れば放物線の式.

x = 1 で切れば双曲線の式.
この場合は,上の円錐と下の円錐の両方を切ることに注意して下さい.
曲線が2本出るので,双曲線という名前がついたのです.
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直円錐の軸が垂直になるように置いておくとして,


切断する面が水平なら,切り口は円.
少し傾けると切り口は楕円.
もっと傾けて面が母線と平行になると,切り口は放物線.
これより傾けると双曲線です.

切断の面が平面が円錐と交わらない,頂点のみで交わる,母線を含む,
などの場合は除外して,
「普通に切った」話にしています.
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この回答へのお礼

なるほどです。ありがとうございます。だいたい分かったと自分では思います。また、切断してできる楕円上の点(座標)、楕円式はどのように導けばいいのでしょうか?

お礼日時:2001/10/19 12:56

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Aベストアンサー

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Q円錐の展開図を教えていただきたいです。

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うまく出来ません。。。展開図を教えていただきたいです。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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183*112/(161-112)+183
だけ下底よりも上にあることになります。この値をhとします。

 次に上記の二等辺三角形の斜辺の長さを求めます。頂点から底辺に垂線を下ろすと合同な直角三角形が二つできます。この直角三角形の辺のうち、直角をはさむ二辺の長さは161/2、および上記のhになるので、三平方の定理より斜辺の長さは
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三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
三角形の高さは √(h^2+a^2)

三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
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(aの4次式ですが)[a^2]の2次式なので,その最大値を求めればよい
S=√(-a^4-(h^2-1)a^2+h^2)
=√(-a^4-(h^2-1)a^2-((h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 + ((h^2+1)/2)^2 ) <ここまですべて平方根の中です>

したがって,a^2= -(h^2-1)/2 =(1-h^2)/2 のとき,すなわちa=√(1-h^2)のとき
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Q円錐の展開図

主婦です。図形のわかる方教えてください。

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お願いします。

Aベストアンサー

まず円錐台の上の消えた部分を再現して円錐にします。
消えた部分の高さをxとして

x:(x+14.5)=26:38
これを解くとxは約31.4
円錐の高さは31.4+14.5=45.9
およそ46mmです

ここからが作図です。
Φは直径のことだと思うので
円錐の側線の長さは
√(46^2+19^2)=49.8
およそ50mm
これを半径に円(扇形)を描きます。
(38π/100π)×360°=136.8°
の扇形

これから上の方を切り取ります。
その長さ(半径)は
√(31.4^2+13^2)=33.98
およそ34mm

書いているうちに他の人の回答が出てきて微妙に違って
います。四捨五入や計算を間違えていないか不安ですが
検算をしてから参考にしてください。

Q図は半径と円すいからなる地形を中心を通る鉛直平面で切った断面図である。

図は半径と円すいからなる地形を中心を通る鉛直平面で切った断面図である。この地形の等高線図として正しいものはどれか。

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この「半径と円すいからなる地形を中心を通る鉛直平面で切った断面図」という表現がよくわからくて困っています。
どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

>半径と円すいからなる地形を

地形を説明してるので、「円すい」は立体の名前なのでわかりますが
「半径」が意味不明ですね。「半球」のまちがいだと思います。

Q円錐台の展開図

円錐台の展開図を描きたいのですが、全く計算が出来ないので、
どなたか代わりに計算していただけいないでしょうか?

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上の円の直径が、71mm
下の円の直径が、14.4mm
二辺を結ぶ長さが、70mmです。

何度か同じようなお願いをしていて申し訳ないですが、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

> 「弧長」は各円の弧のことでしょうか?
> そうだとすると、式が二つになるのでしょうか?

そう解釈していいです。
展開図上の円周の一部としての弧を考えてください。

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Q円錐を底辺に平行な2つの平面P,Qで切断し、高さの等しい円錐Aと円錐台

円錐を底辺に平行な2つの平面P,Qで切断し、高さの等しい円錐Aと円錐台B,Cに分けた。このときBの体積が21cm3であったとすると、Cの体積はいくらか。

解説↓
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解説で「円錐A+円錐台Bの高さは2倍で底面積は4倍となる」とあります。相似比を2乗すると面積比なるはずですが、どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?円錐A+円錐台Bの面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?
どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

>相似比を2乗すると面積比なるはずですが、どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?

底面だけ比べても相似だからです。(側面積も同様に4倍です。)

>円錐A+円錐台Bの面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?

高さと底面積から体積を求めるので、底面積だけについて述べた方がいいでしょう。

Q偏芯円錐の展開図や楕円の書き方

以前に正円錐の展開図の書き方を回答してもらい解決しましたが
偏芯した円錐の展開図を書く方法、あるいは参考HPなどを教えてください。
たぶん、楕円形になると思うのですが、思えば楕円形をきちんと書く方法も疑問です。
数学は苦手ですのでもしかしたら理解不能かもしれませんがヒントだけでもなれば、できればがんばって身に付けたいと思っています。
製図のジャンルになるのか数学カテなのかどうか分かりません、カテ違いならそれもご指摘ください。

Aベストアンサー

#1です。
別のHPも見つけましたので参考にして下さい。

側面の展開図は頂点と側面の稜線と中心角で作図していくことになりますが、
円錐立体の側面の製図作図法の例がありますので参考URLをみて展開図を作図されたら良いでしょう。
なお、参考URLで製図に使っているソフトは無料のフリーソフトで人気のあるCADソフトです。
ダウンロード先:​www.jwcad.net/index.htm​など。

なお参考URLのpdfファイルはAdobe AcrobatReader(無料ソフト)で開きます。Windows XPのなら最初からインストールされていてIEで開けるようになっていると思います。

参考URL:http://www.ait-sapporo.ac.jp/~shokunou/201_mono/menu/kadai2-2.pdf

Q円錐の断面

円錐を底面と平行になるように切った場合、上部と下部に分かれますよね。この上部と下部の切り口は円だと思うのですが、この円の面積は全く等しいものなのでしょうか? 
感覚としては等しいような気もするのですが、そうなると、逆に面積の等しい円を積み重ねた場合出来上がるのは円柱なので前提と異なってしまいます。
よろしくお願いします

Aベストアンサー

> この円の面積は全く等しいものなのでしょうか?

そうですね。切る前は寸法が一致してたものですから。
切った後も寸法は一致、つまり「同じ」です。

> 積の等しい円を積み重ねた場合出来上がるのは円柱なの


違います。
「厚みがある」とすると重ねれば円柱ですが、厚みがあるとそれは即ちそれだけで「円柱」です。
単に「円」というと厚みがないので
いくら積み重ねても厚みは増さず、「円」のままです。


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