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円錐を水平に切ったときの断面図は、円になりますが、円錐を傾けていくと断面図の円は、どのように変化するのでしょうか?式での表現がうまくいきません。

A 回答 (2件)

原点に頂点があり,軸がz軸になっている円錐の方程式は


(1)  ax^2 + ay^2 - z^2 = 0
(a は正の定数)ですから,
平面の式と連立させればOKです.

a=1 の場合の円錐を xz 平面で見たのが下図です
普通の円錐は z<0 の部分ですが,z>0 には逆立ちした円錐があると思ってください.
こうしておくと,双曲線が見やすいのです.


      z  
  \   │   /
   \  │  /
    \ │ /
     \│/
  ───────── x
     /│\
    / │ \
   /  │  \
  /   │   \


xy 平面に平行な面で切るなら,例えば z=1 と連立させて
切り口は
(2)  x^2 + y^2 = 1
で,円.

以下同様ですので,細かい計算はお任せします.

少し傾けて,z = (x/2) - 1 で切るなら,(1)と連立させて楕円の式になります.

z = x - 1 (母線に平行)で切れば放物線の式.

x = 1 で切れば双曲線の式.
この場合は,上の円錐と下の円錐の両方を切ることに注意して下さい.
曲線が2本出るので,双曲線という名前がついたのです.
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直円錐の軸が垂直になるように置いておくとして,


切断する面が水平なら,切り口は円.
少し傾けると切り口は楕円.
もっと傾けて面が母線と平行になると,切り口は放物線.
これより傾けると双曲線です.

切断の面が平面が円錐と交わらない,頂点のみで交わる,母線を含む,
などの場合は除外して,
「普通に切った」話にしています.
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この回答へのお礼

なるほどです。ありがとうございます。だいたい分かったと自分では思います。また、切断してできる楕円上の点(座標)、楕円式はどのように導けばいいのでしょうか?

お礼日時:2001/10/19 12:56

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