全部でn種類のシールが1枚おまけでついてくる商品があるとします。どの種類のシールがでる確率もすべて一定とします。このとき、全ての種類のシールを集めるために必要な商品の購買数の期待値は?
期待個数=n×(1+(1/2)+(1/3)+(1/4)・・・・+(1/n))
という結果をみたのですが、どうしても理由が分かりません。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (1件)

 最初の1枚目を引くときはカードは何でも良いので確率は1です。

期待値も1になります。
 2個目は、最初の1枚目と違うカードを引く必要があり、その確率は(n-1)/nです。このような確率の期待値は逆数になりますのでn/(n-1)。
同様に、3枚目の期待値はn/(n-2)。

n-3枚を集め終わったとき、残る3枚のどれかを手に入れる確率は(n-(n-3))/n=3/nで、期待値はn/3です。同様に2枚残しているときの期待値はn/2、最後の1枚の期待値はn/1となります。
これらを足して、

期待値=1+n/(n-1)+n/(n-2)+・・・n/3+n/2+n

nでくくると
期待値=n×(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+・・・1/3+1/2+1)

前後を入れ替えると質問の式になります。

ということで説明はよろしいでしょうか?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

当に目からうろこ、納得しました。
ありがとう御座いました。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q3/(n+2)(n+5)= 1/3 {<1/(n+2)>-<1/(n+5)>} ???

{1/(n+2)}-{1/(n+5)}=3/(n+2)(n+5)…(1)です。更に
1/3 {<1/(n+2)>-<1/(n+5)>}…(2)
にと変形できるそうです。
読んでいる本に、(1)の分子の3を1にする為に上の変形が紹介されていたのですが、

(1)と(2)は同じ数値、大きさになるのでしょうか? 
分子と分母で数字が同じでも、分子を1にして元々の数字で割ってしまっては(分母に元の数字を)、違う大きさになると思うのですが…
2/1と1/2は違いますし…

Aベストアンサー

A-B=3Cだから、C=(1/3)(A-B)だ、といっているのです。

1/(n+2)-1/(n+5)=3{1/(n+2)(n+5)}だから
1/(n+2)(n+5)=(1/3){1/(n+2)-1/(n+5)}になりますよということ。
(2)の方の式に等号がありませんが、左辺(あるいは右辺)に
くるべきものをいっしょに考えてください。

Q数列 1/(n+1)+1/(n+2)…1/(n+n) の収束について

-----------------------
数列{an}を
an=1/(n+1)+1/(n+2)…1/(n+n)
とする。ただしn∈Nとする。
(1)この数列は収束する。
(2)n→∞のとき、0≦an≦1となる。
-----------------------
を示したいのですが、どのように導けばよいのかさっぱり解りません。
(1)で、この数列が収束することは単調増加することと下に有界であることから示せました。
(2)は解けずにいるのですが、疑問点があります。
n=1のときに、a1=1/2となり、数列が単調増加をすることから、0≦anということは有り得ないのでは?と思うのですが…。
このことと、大雑把な道筋を教えてください。
細かい計算は自力でやりたいので…。

Aベストアンサー

an=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)
<1/(n+1)+1/(n+1)+…+1/(n+1)
=n/(n+1)≦1

ですね

Q1/6n(n+1)(2n+1)+1/2n(n+1) の計算を教えて下さい

1/6n(n+1)(2n+1)+1/2n(n+1)
の計算を教えて下さい

Aベストアンサー

1/6=(1/3)×(1/2)
n(n+1)(2n+1)と
n(n+1)
を比べると、n(n+1)が共通。
(1/2)n(n+1)が両項で共通しているので、(1/2)n(n+1)=Cとおくと、
与式=(1/3)(2n+1)C+C
  =(1/3){(2n+1)C+3C}
  =(1/3){(2n+1)+3}C
  =(1/3)(2n+4)C
  =(1/3)・2・(n+2)C
Cを戻して
  =(1/3)・2・(n+2){(1/2)・n(n+1)}
  =(1/3)(n+2)n(n+1)
  =(1/3)n(n+1)(n+2)
計算を少なくするのは結構重要です。
が、大学受験生の頃は、ちっともできませんでした。

Q1/2*3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)/2(n+1)(n+2)=???

(1)1/2*{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}/2(n+1)(n+2)=
(2)(3n^2+5n)/4(n+1)(n+2) なのだそうですが…
自分で紙に書いて計算しても(2)になりません。

(2)になるまでを詳しく書いてください。

3(n+1)(n+2)-2(n+1)(n+2)として計算したのですが…

Aベストアンサー

{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}を整理してみます。

{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}
 =3(n^2+3n+2)-2n-4-2n-2
 =3n^2+9n+6-4n-6
 =3n^2+5n

1/2*{A}/2(B)={A}/4(B) ですから、

1/2*{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}/2(n+1)(n+2)
 ={3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}/4(n+1)(n+2)
 =(3n^2+5n)/4(n+1)(n+2)

>3(n+1)(n+2)-2(n+1)(n+2)として計算したのですが…

-2(n+2)-2(n+1)=-2(n+1)(n+2)とされたんですね。
-2a-2b=-2(a+b)ですから(逆に展開してみてください)
-2(n+2)-2(n+1)=-2{(n+2)+(n+1)}です。

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報