「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

バネに繋がれた物体の二体運動に関してなんですが、
たとえば、質量Mとmのふたつの物体があってバネ定数kのバネで繋がれているという状況を考えます。(バネの質量は無視して考えています。)

そして、このときなんですが、初速度を与えて運動させる場合に関してなんですが、バネなんで各質量M,mは振動的運動をしていくことは容易にわかります。

ここからが質問です。
たとえば、バネの自然長をLとしたときにバネの最大縮みがdとすると、このときの各物体の速度ってどのように考えたらいいのでしょうか?

たぶんですが、一番最初に初速度をあたえる。ということから、バネのつりあい(?)を崩して運動させるのみの力で非常に微小と考えて無視して運動量保存を考えればいいのかどうかと言うことに困っています。

どなたか詳しい方、知恵を貸してください。

A 回答 (2件)

やはりまずは運動方程式を立てましょう.


時刻tにおける縮みをxとすれば解けると思います.
質量がMとmの運動方程式を立てることが出来れば,あとは難なく解けると思います.

#1さんの回答とあわせてお考え下さい.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。やってみたいと思います。

お礼日時:2005/08/09 14:26

二つの物体の間の重心を基準(座標の原点)にとれば、簡単に求められると思います。

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この回答へのお礼

なるほど、力学系にかかる力はぜろと言うことを使えばよさそうですね。ありがとうございます。

お礼日時:2005/08/09 14:25

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Q物理 ばねにつながれた二物体の運動

質量M,mの質点をばねでつなぎ、なめらかなx軸上水平面で質量Mの質点に任意の初速を与えた時の運動を解析したいのですが、運動方程式の立て方がわかりません。
教えていただきたいです。

Aベストアンサー

ここで説明すると大変なので、下記などを参照してください。手抜きですみません。

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95_%E8%A4%87%E6%95%B0%E7%B2%92%E5%AD%90%E3%81%AE%E6%8C%AF%E5%8B%95

http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/physicsI/two-body-coupled-spring-qa080724.pdf

Qバネでつながれた二つの球

「質量がそれぞれm1、m2(m1>m2)の二つの球をバネ定数k、自然長aの軽いバネでつなぐ(これを系Sとする)。
系Sがx軸上で自然長を保ち静止しているとき、時刻t=0にm1に瞬間的に力積を加えて速度v0を与えた。」

というような問題で、(1)の問が

「t秒後のm1、m2の位置をx1(t)、x2(t)とするとき、m1、m2それぞれについて運動方程式を書け。」

という問なのですが、考え方が分からなくて困っています。
この後にも

「系Sの重心座標をX(t)、m1に対するm2の相対座標をx(t)として、運動方程式を書き換えよ。」



「系Sの振動の周期Tを求めよ。」

などの問もあるのですが、とにかく始めでつまずいてしまい困っています。
ヒント等でも構わないので、ご回答頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この問題は式は簡単なんですが考え方が難しいのです。
問題文のどこを見ても「~の大きさの力が加わって」とか「~の加速度で運動した」とかが書かれていないわけです。でも確かに運動をするはずです。バネでつながれているから振動しながら動いていくでしょう。
普通力学で出てくる式よりも簡単なんですが場面は難しいのです。これは私の印象です。
力は#1の回答にあるとおりです。
m2      m1(質量)
x2      x1(位置)
V2      V1(速度)
A2      A1(加速度)
○-----○  (----はバネです)
自然長a、バネ定数k、初速度v0
x1(0)-x2(0)=aです。
(右向きを正に取っています。)

運動方程式は
m1A1=-k(x1-x2-a)
m2A2=k(x1-x2-a)
力はバネが変形しているときに働きます。自然長よりも長くなっているときは物体1には左向きに、物体2には右向きに働きます。初速を右向きに与えているという場合ですからこの表現でいいと思います。これだけなんですが初めてだとけっこう考えるのが難しいです。特に符号が難しいです。(1を左に持ってくる方が逆旅区を与えたというのにうまく合っているように思いますが符号に注意がいります。やって見られるといいと思います。)

2つの式を足してみて下さい。
m1A1+m2A2=0
になります。左辺を(m1+m2)で割ると重心の加速度=0になります。重心は等速度で運動しているという結果になります。外力が働いていないのでこうなります。これは上の運動方程式のチェックになります。
重心の速度をVGとします。
VG=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)=m1v0/(m1+m2)
です。ここで初速度v0が出てきます。
物体は振動しながら運動しているはずですが重心の運動が等速度ですから重心に対して振動していると考えられます。そこで重心座標と相対座標に書き換えるという考えが出てきます。相対座標は2つの立場があります。重心に対する相対座標と1に対する2の相対座標とです。2体の場合はどちらでの表現も可能です。

上の式で
A=d^2x/dt^2=A1-A2
を求めると
A=-(1/m1+1/m2)k(x-a)=-k(x-a)/μ
です。μは1と2を合わせて考えるときの有効質量です。「換算質量」といいます。
1/μ=1/m1+1/m2
μ=m1m2/(m1+m2)
です。
質量の項を左辺に持っていくと
μA=-k(x-a)
これはx=aを中心とする単振動になります。
2つの物体の間でだけ力が働いている場合、重心座標と相対座標に変換すると2体問題が一体問題に変わります。人工衛星の運動は地球が止まっているとして考えてよいというのもこれの例です。水素原子の中での電子の運動も重心を止めて考えます。
座標形の書き換えについては力学の教科書に載っているはずです。バネでいきなり出てくるのではないはずです。

運動エネルギーの和の書き換えの質問がこのカテで過去に出ています。

この問題は式は簡単なんですが考え方が難しいのです。
問題文のどこを見ても「~の大きさの力が加わって」とか「~の加速度で運動した」とかが書かれていないわけです。でも確かに運動をするはずです。バネでつながれているから振動しながら動いていくでしょう。
普通力学で出てくる式よりも簡単なんですが場面は難しいのです。これは私の印象です。
力は#1の回答にあるとおりです。
m2      m1(質量)
x2      x1(位置)
V2      V1(速度)
A2      A1(加...続きを読む

Qばねに連結された2物体

物理の初歩的な質問です。教えてください。

右図のように天井に軽い糸で質量mの小球Aをつるし、これにばね定数kのばねを取り付け、他端に質量Mの小球Bを結ぶ。はじめAもBも静止している。重力加速度をgとして、次の設問に答えよ。
(1)ばねの伸びを求めよ。
(2)時刻t=0に糸を切る。その後のAの速度を時刻tの関数として式に表せ。
(1)はBのつりあいからd=Mg/kでいいと思います。
(2)なんですが、重心が加速度gで落下するので重心から運動をながめますよね?そうするとAのばね定数ka=(m+M)k/M、ω=√(m+M)k/mMでAの座標Xa=Asin(ωt+θ)で表せるはずなんですが、このときの振幅Aってどうやって求めるのでしょうか?あと、これを微分して重力による速度gtを足せば答えでいいでしょうか?

Aベストアンサー

重心は自由落下をします。したがって,重心から見た運動は無重力下の運動になりますね?
したがって,振動は自然長をつりあい状態として,振幅合計が初めのばねの伸びdになるはずです。

>これを微分して重力による速度gtを足せば…
下向きを正にとるとそういうことになりますね。

Q重心の運動

質量m、2mの質点が、自然長l、ばね定数kのばねで接続されている。
この一連の物体が振動しながら並進運動している時、重心の速度を求めよ。
ただし、質量mの質点の位置はx1、2mはx2、重心はx3とする。
(右向き正の一次元運動とし、x1<x2)
という問題です。以下微分は’で表現します。


重心座標 x3=(mx1 + 2mx2)/(3m)
換算質量 μ=2m^2/3m
ばねの伸び d=x2-x1-l
だと思うのですが、重心の運動方程式は
μx3''=-kd
でしょうか?仮にこれの場合、積分定数をv0として、
重心速度 v=x3'=(-kd/μ)t + v0
となるのでしょうか?
重心などの2体問題が非常に苦手で、どう解いていいのか混乱してしまいます。


この場合、重心に直接働く力は無いと思うのですが、運動方程式に書く場合はどうすればよいのでしょう?2つの質点に働く力の合計でしょうか?(それだと異符号かつ絶対値同じで0になる気がしますので、上の解答では-kdだけ書きましたが・・・。)
また、質量は換算質量でよいのでしょうか?それとも全質量でしょうか?


ご教授の程、よろしくお願い致します。

質量m、2mの質点が、自然長l、ばね定数kのばねで接続されている。
この一連の物体が振動しながら並進運動している時、重心の速度を求めよ。
ただし、質量mの質点の位置はx1、2mはx2、重心はx3とする。
(右向き正の一次元運動とし、x1<x2)
という問題です。以下微分は’で表現します。


重心座標 x3=(mx1 + 2mx2)/(3m)
換算質量 μ=2m^2/3m
ばねの伸び d=x2-x1-l
だと思うのですが、重心の運動方程式は
μx3''=-kd
でしょうか?仮にこれの場合、積分定数をv0として、
重心速度 v=...続きを読む

Aベストアンサー

重心の運動方程式における座標はもちろん質問の中にある
 「重心座標 x3=(mx1 + 2mx2)/(3m)」
ですね。結果的に/3はなくても同じですが。
また,相対変位はふつう 自然長をLとして,
 X2 = x2 - x1 - L = d
にとります。
すると相対運動の運動方程式は,
 μX2'' = - kX2, μ=2m/3
となります。

もう少し一般化した運動方程式を立ててみましょう。
簡単に質点m1,m2が相互作用fを及ぼしあって,外力ゼロとします。
m1について:m1x1'' = f
m2について:m2x2'' = -f
辺々加えて m1x1''+m2x2'' = 0
これが重心の運動方程式ですが,これは
 M X'' = 0  M=m1+m2 ,X=(m1x1+m2x2)/M
と書くことによって一層その意味がはっきりします。
これは,外力0の場合積分して運動量保存則になることに注意
しましょう。重心の等速度運動は,系の運動量保存則と同値です。
一方,上2式からx=x1-x2(もちろんx2-x1でもよい)を座標
(1,2の相対座標)とする運動方程式をつくれば,
 μx'' = f  1/μ = 1/m1 + 1/m2 ,x=x1-x2
となり,ここに出てくるμなるものが換算質量というわけです。
これを相対運動の(相対座標についての)運動方程式といいます。
x1,x2の運動方程式は,一般に連立微分方程式になりますが,
X,xの運動方程式は相互に座標が入り込まないそれぞれに独立した
微分方程式になるため,比較的簡単に解けるわけです。

重心の運動方程式における座標はもちろん質問の中にある
 「重心座標 x3=(mx1 + 2mx2)/(3m)」
ですね。結果的に/3はなくても同じですが。
また,相対変位はふつう 自然長をLとして,
 X2 = x2 - x1 - L = d
にとります。
すると相対運動の運動方程式は,
 μX2'' = - kX2, μ=2m/3
となります。

もう少し一般化した運動方程式を立ててみましょう。
簡単に質点m1,m2が相互作用fを及ぼしあって,外力ゼロとします。
m1について:m1x1'' = f
m2について:m2x2'' = -f
辺々加えて m1x1''+m2x...続きを読む

Q高校物理 二体問題について

こんにちは。高校生で大学受験のための勉強をしているものです。
早速ですが、物理について質問です。
二体問題は重心から見ると解きやすいと教えられてそのように勉強してきました。
「二物体の衝突は重心から見ると、質量の逆比逆向きの速度で向かってきて、衝突後また質量の逆比逆向きの速度ではなれていくという現象だ。…*」といった風に習いました。

先日、東京工業大学の過去問をといたのですがわからないところがありました。
2010年度の前期試験物理の大問1の(d)です。
http://www.riruraru.com/cfv21/phys/tip10f1.htm
(参考までにURLのせておきます。)
ここで、小球と物体Bが衝突するのですが僕は

「(V0-ブイゼロ-はパソコンでの書き方がわからないのでvと書かせていただきます。)
x方向に外力が働かないから重心速度一定だな。(運動量保存)
*より、重心から見た小球の衝突直前の速度はMv/√(2)(m+M)
物体Bの速度は-mv/√(2)(m+M)
衝突後はそれぞれ大きさ同じで向きが逆になるのだろうな」
と考えました。
だから、
「重心速度はmv/√(2)(m+M)だから衝突後の速度は、
小球 (m-M)v/√(2)(m+M)
物体B √(2)mv/(m+M)」
だと思いました。

そしたら正解は違っていて
小球 √(2)(m-2M)v/2(m+2M)
物体B 2√(2)mv/(m+2M)
となっていました。


解答は運動エネルギー保存則と運動量保存則の式を連立させて導いていて納得できたのですが、
しかし、自分の方法ではなぜ正解にたどり着けないのかがわかりません。

運動量保存則を模範解答も使っているので重心速度は絶対に一定のはずです。
重心からみれば、二物体は質量逆比逆向きの速度で~というものには成立条件のようなものがあるのでしょうか?
ここが一番お聞きしたいです。


繰り返しになりますが、模範解答がなぜ正しいかではなくて*がなぜ成立しないのかをお聞きしたいです。
長文見にくいなか、ここまで読んでくださったみなさまありがとうございました。
回答よろしくおねがいします。

こんにちは。高校生で大学受験のための勉強をしているものです。
早速ですが、物理について質問です。
二体問題は重心から見ると解きやすいと教えられてそのように勉強してきました。
「二物体の衝突は重心から見ると、質量の逆比逆向きの速度で向かってきて、衝突後また質量の逆比逆向きの速度ではなれていくという現象だ。…*」といった風に習いました。

先日、東京工業大学の過去問をといたのですがわからないところがありました。
2010年度の前期試験物理の大問1の(d)です。
http://www.riruraru.com/cfv2...続きを読む

Aベストアンサー

#3、#4です。
返事が頂けないのが気になります。

#3で衝突後の小球の運動方向が斜め45°の方向であるとすると
「T=T’」、
「衝突直後の小球の速度の水平成分の大きさは衝突直前の小球の速度の水平成分の大きさの半分である」
というのは放物運動の問題としてm、Mに無関係に出てくることだ
と書きました。
点Pから速さvoで面に垂直な方向に投げ出した物体が同じ高さの点Qに落下するまでの時間がTだったとする。
点Pから速さvで面に垂直な方向に投げ出した物体が点Oに落下した。落下に要する時間をT’とする。T’/T、v/voを求めよ。
という問題と同じですね。

2体衝突が続けて起こるとして考えると面に垂直な方向(=斜め上方45°の方向)に跳ね返るというのは決まってしまいます。3体の衝突の問題は解くことができませんのでこのような取り扱いは3体が絡む衝突では標準的なものであると考えていいでしょう。したがって出題者もこういう方法でしか解けないということは承知しているはずです。

元の問題が
>(d) 小球が物体Bと衝突した直後の、小球の速度のx成分vと、物体Bの速度Vを、m,Mおよびを用いて表せ。
>(e) 小球が点Pから点Qまで運動するのに要する時間をTとするとき、小球が点Qに衝突してから原点Oに落下するまでに要する時間をTを用いて表せ。

となっているのはv/voがm、Mに関係した表現になる、衝突の問題を解かないとv/voは決まらないとしていることになりますので問題の設定自体がおかしいということになります。この表現が必要なのはM/mを決定する時です。v/voを求める時ではありません。測定値が一切出てこない問題で有効数字2ケタの解を要求するという首をかしげたくなるような問いも出てきていますから出題者のレベルに信頼できないものを感じます。
東工大は以前にも「重力の加速度の値を9.800m/s^2として有効数字4桁の答えを要求する」ような変な問題を出していたこともありますので私としては「またか!」という気持ちになっています。

解答はこの問題設定の混乱に足元をすくわれてしまっています。
v=vo/2が得られていませんのでどこかがおかしいのです。
おかしいのは(5)の反発係数の式です。
面に垂直な方向の台の速度をV/√2としています。ここがV√2であればv=vo/2が出てくるのです。小球と台の衝突、台と床の衝突と順番に考えていくのであれば小球からもらった運動量はMVよりも大きいはずです。床と平行な成分だけしか残らないというのは台と床との衝突の後の話です。

v=vo/2となるという条件で解いていくとM/m=3になります。これを3.0としなければいけないなんていうのはばかげています。

#3、#4です。
返事が頂けないのが気になります。

#3で衝突後の小球の運動方向が斜め45°の方向であるとすると
「T=T’」、
「衝突直後の小球の速度の水平成分の大きさは衝突直前の小球の速度の水平成分の大きさの半分である」
というのは放物運動の問題としてm、Mに無関係に出てくることだ
と書きました。
点Pから速さvoで面に垂直な方向に投げ出した物体が同じ高さの点Qに落下するまでの時間がTだったとする。
点Pから速さvで面に垂直な方向に投げ出した物体が点Oに落下した。落下に要する時...続きを読む

Q平均分子量

平均分子量についてイマイチわかりません。高校生レベルで教えてください。

Aベストアンサー

>以下の内容は.高等学校で教えているのでしょうか。
>モル凝固点降下.モル沸点上昇.(気体の)分圧.浸透圧
これは高校化学で教えています。

みなさんの言うとおり、分子量×割合(分圧)で計算します。
平均分子量は見かけの分子量をあらわすので、その名のとおり、平均値です。
空気の場合は、窒素(分子量28)が78%、酸素(分子量32)が22%とするとこのとおり。
28×0.78 + 32×0.22 = 28.88(平均分子量)

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運動エネルギーの和は、重心の運動エネルギーと重心に相対的な運動エネルギーの和に等しいことをΣを使って証明できるのですが、2物体とか具体的に数字が出たら原理は、わかるのですが証明はいまいちわかりません。何方か教えてください。

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>二個の質点に対してK=KG+K´を証明するときどうすればよいのですか?

ここでの式は次の内容を表しているのですね。文字で表すときは言葉の説明も添えてもらうと分かりやすいです。

>運動エネルギーの和は、重心の運動エネルギーと重心に相対的な運動エネルギーの和に等しい

2物体の場合でいいのですか。

それぞれの式の表現はきちんと出来ていますか。それさえ出来ていれば単なる式の変形ですので難しくはありません。どこでどう引っかかってしまったのかが私にはよく分かりません。私は物体を1と2で区別しました。Σだけでは分かりません。まずここにハードルがあるのではないですか。自分で「ここが引っかかったところだ」と具体的に突き詰めることが出来たらたいていは全部自分で解決できる場合が多いです。ただ全体的に「分からない」と言っている間は「いつまでたっても分からないまま」なのです。

2物体の場合での方針を確認しておきますから文字の意味、式の表現等を改めて確かめてやり直してみて下さい。

(1)2つの物体を区別して表現する。(1,2とかA、Bとかで)
(2)質量、速度の文字を決める。
(3)重心の速度の表現を求める。(2つの物体の速度、質量で表す。)
(4)重心に対する相対速度の表現を求める。
(5)はじめの速度で表した運動エネルギーの和(K)、重心に対する相対速度で表した運動エネルギーの和(K’)の表現を求める。
(6)重心の運動エネルギー(KG)の表現を求める。
   この時の速度は重心の速度、質量は2つの質量の和です。
(7)K=KG+K’を変形で導く。
   右辺から左辺に持っていく方が分かりやすいでしょう。

(7)の質量で間違っていませんか。
#2に重心の速度、重心に対する相対速度の表現は書いてあります。


 

>二個の質点に対してK=KG+K´を証明するときどうすればよいのですか?

ここでの式は次の内容を表しているのですね。文字で表すときは言葉の説明も添えてもらうと分かりやすいです。

>運動エネルギーの和は、重心の運動エネルギーと重心に相対的な運動エネルギーの和に等しい

2物体の場合でいいのですか。

それぞれの式の表現はきちんと出来ていますか。それさえ出来ていれば単なる式の変形ですので難しくはありません。どこでどう引っかかってしまったのかが私にはよく分かりません。私は物体を1と...続きを読む

Q回転運動のエネルギー

大学に入って初めて剛体の力学について習ったのですが、高校の物理と違ってよく分かりません。
回転運動のエネルギーを求める公式とその証明を教えて下さい。お願いします。

Aベストアンサー

回転運動のエネルギーの証明ということですが
回転運動といっても基本的には運動エネルギーなのです。ある軸を中心に剛体がくるくる回っている時の
エネルギーは軸の周りの慣性モーメントIとして
1/2Iω^2です。これの証明は、まず剛体の各微小部分
を考えます。その各微小部分(質量Δm)の運動エネルギーは
1/2Δmv^2=1/2Δm(rω)^2となります。v=rωというのは微小部分の速度ですが、その微小部分が回転軸からr離れていて、そして剛体は角速度ωでまわっているからです。
軸から距離r+Δrのところにある微小部分なら、その速度は(r+Δr)ωです。
それで、微小部分の運動エネルギーを全て加えれば、
それが結局回転のエネルギーということになります。
U=Σ1/2Δmv^2=Σ1/2Δm(rω)^2=1/2(ΣΔmr^2)ω^2

ここで、ΣΔmr^2というのは、軸から距離rはなれたところの微小部分の質量Δmに、その軸からの距離rの2乗をかけて、それを剛体のあらゆる微小部分について加えたということであり、それは結局軸の周りの慣性モーメントを意味します。I=ΣΔm(r)r^2よって
U=1/2(ΣΔmr^2)ω^2=1/2Iω^2となります。

回転運動のエネルギーの証明ということですが
回転運動といっても基本的には運動エネルギーなのです。ある軸を中心に剛体がくるくる回っている時の
エネルギーは軸の周りの慣性モーメントIとして
1/2Iω^2です。これの証明は、まず剛体の各微小部分
を考えます。その各微小部分(質量Δm)の運動エネルギーは
1/2Δmv^2=1/2Δm(rω)^2となります。v=rωというのは微小部分の速度ですが、その微小部分が回転軸からr離れていて、そして剛体は角速度ωでまわっているからです。
軸から距離r+Δrのところにある微小部分な...続きを読む

Q鉛直ばね振り子の減衰振動の運動方程式について

摩擦のある水平面でばね振り子減衰振動の運動方程式は
m(d^2x/dt^2)=-kx-α(dx/dt) kはばね定数
で与えられると思いますが、鉛直ばね振り子の場合、重力のmgは運動方程式に加えなくてもよいのでしょうか?
それとも
高校のころ、単振動の問題を解くとき、鉛直ばね振り子の場合はx=lを釣り合い位置としてkl=mg k=mg/l がこの場合のkであって、ばね定数とは違う値だ、というようなことを習った記憶があるのですが、この場合のkもそれでしょうか?

Aベストアンサー

実際mgを加えてみてください。ただし,mg=kl として X=x-l と
座標をずらせば,目的の運動方程式を得ます。
運動方程式でこれができるので以下はあたりまえですが,エネルギーに
ついても同様のあつかい(つりあい位置からの変位に書き換えると
重力による位置エネルギーがキャンセルできる)が可能です。

Q接地

接地についての質問なのですが
接地とはなんとなくわかっているんですがしっかりどのようなことなのかわかっていません。
電位が0になるということなんですが。。
たとえばコンデンサの両端を設置したとき、導体球を接地したときなど電荷などはどうなるのでしょうか?
とても簡単なことかもしれませんがどなたかお願いします。

Aベストアンサー

接地する先は地球という、容量無限大のコンデンサーです。コンデンサーの両端を設置すると容量が無限大ですから、コンデンサーのどちらかに電荷が溜ると電位が上がりますからその電荷は地球へすべて流れて行ってしまいます。どんなに大きな電荷でも相手は容量∞ですからその電位が上がることはなく、いくらでも電荷を呑み込みます。従ってコンデンサーには一切電荷が溜ることがなくなります。
 導体の一端を接地する場合、導体に電荷が溜ると電位が上がろうとしますから、電荷はそれがどんなに大きくてもアースを伝わって地球に逃げてしまいます。従ってその電流によって導体が破壊しない限り、導体に電荷が溜ることはないのです。破壊してしまったら勿論溜りませんよね(^_-)
 回路の一箇所を接地すると、そこの電位が全く動かないので、ちょうどシーソーの支点のようになり、ここを基点とする電位の状況によって電流が回路を流れます。


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