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センター問題です。
問題は、
●三角形ABCの内心Iの座標を求めよ。
●三角形ABCの内接円の半径を求めよ。
なのですが、Iの座標を(i,i)として、【 IP 】と【 IQ(IR) 】の距離が(内接円の半径として)等しいという考えから、点と直線の距離の公式を用いて解答しました。


私がお聞きしたいのは、この問題において別解が無いか。ということなのです。
殆どの問題は、問題内容の範囲に基づいた解法の他に別解が考えられるのですが、この問題は思い浮かびませんでした。

もし、上記の問題を、『点と直線の距離』を使わずに解答できるようでしたらご教示お願いいたします。
アドバイスでもありましたらよろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

まずセンター試験の問題ということですが、これは結構問題に特有の解き方をすることで速い解答を得られるようになっているはずです。

つまり一般性の少ない方法があるのでしょう。もしそのような特殊解放がご希望でしたら多分書かれている条件はまだ不足しているものと思います。

そこで文面から勝手に設定を作り出しました。根拠は座標を(i,i)としていることです。
・三角形は直角三角形
・直角を原点におき、その両隣の二辺をx軸とy軸においている
上記の設定が正しければ、
1.半径から求めます。三角形の面積=三辺の長さの和×内接円の半径÷2で求まります。
2.中心の座標はx,yともに内接円の半径です。

…その問題が掲載されている赤本なり青本なりの解説を見るのも1つの手段かと思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
三角形が直角三角形と考えられる根拠は何でしょうか。

お礼日時:2005/08/24 21:16

ANo.1の方が書かれているように


△ABCは、2辺が座標軸上にある直角三角形であると推測されます。
したがって、提示された解法がベストかと思われます。

別解として、こんな方法も考えられますが……。

内心は、頂角の二等分線の交点なので
「角の二等分線は、対辺を隣り合う2辺の比に内分する」
という性質を使います。

∠Aの二等分線とBCとの交点は、BCをAB:ACに内分する。
(この点をDとおく)
∠Bの二等分線とADとの交点は、ADをBA:BDに内分する。
 この点が、内心Iとなります。
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この回答へのお礼

作図は容易ですが、計算上、座標はどのように求められるのでしょうか。

スレに不手際があってすみません…。

お礼日時:2005/08/24 21:17

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Q内心

2次関数で内心をもとめる問題です。意外とむずかしいのでわかる方教えてください。

座標A(0、0)、B(3,3)、C(4,0)の3点を結んだ三角形があります。その内心の求め方と座標を教えてください(Xだけでも可)。

わかりやすく教えていただける方の回答お待ちしています。

Aベストアンサー

handmishさん、こんにちは。
分かりやすいかどうかわからないですが・・

>座標A(0、0)、B(3,3)、C(4,0)の3点を結んだ三角形があります。その内心の求め方と座標を教えてください(Xだけでも可)。

内接円の中心(内心)をI(a,b)とします。
点Iは、線分AB,BC,CAから等距離にあります。
また、線分ACはx軸になっているので
内心のy座標そのものが、内接円の半径になります。

直線ABの方程式
y=x
ですから、点(a,b)からy=xまでの距離は
点と直線の方程式から,b>0より

|a-b|/√(1^2+1^1)=b
|a-b|=√2b・・・(1)

直線BCの方程式は

y-3={(0-3)/(4-3)}*(x-3)
3x+y-12=0
これと点(a,b)との距離は

|3a+b-12|/√(3^2+1^1)=b
|3a+b-12|=√10b・・・(2)

(1)(2)と未知数がa,bの2個ですから、
連立方程式を解けば、abは求められます。
(計算かなりややこしそうです・・)


それか、面積から考えるとよいのでは。
三角形ABCの面積は
内接円の半径をrとすると

△ABC=r*(AB+BC+CA)/2

ですね。
AB=√(3^2+3^2)=3√2
BC=√(3^2+1^2)=√10
CA=4

また、△ABCの面積は底辺AC=4、高さ3なので
底辺×高さ÷2より6

なので
△ABC=r*(AB+BC+CA)/2=6
r=12/(3√2+√10+4)

この半径が内心のy座標になっている。
あとは、
|a-b|/√(1^2+1^1)=b
からx座標のaも求められると思います。
一度やってみてくださいね。

handmishさん、こんにちは。
分かりやすいかどうかわからないですが・・

>座標A(0、0)、B(3,3)、C(4,0)の3点を結んだ三角形があります。その内心の求め方と座標を教えてください(Xだけでも可)。

内接円の中心(内心)をI(a,b)とします。
点Iは、線分AB,BC,CAから等距離にあります。
また、線分ACはx軸になっているので
内心のy座標そのものが、内接円の半径になります。

直線ABの方程式
y=x
ですから、点(a,b)からy=xまでの距離は
点と直線の方程式から,b...続きを読む


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