円錐・角錐の体積と 1/3 の話

中学1年くらいの内容でしょうか、底面積に高さをかけて1/3すると、体積が出ます。なぜ1/3なのかを上手に説明したいのですが。

No.4 回答者： pitagorajr 回答日時： 2005/09/21 00:21

3個の三角錐（斜三角錐ですが）で立方体ができる。

→立方体の三分の一体積が三角錐である。底面積と高さが同じなら三角錐の体積は同じ。そこらからどうですか。

この回答へのお礼

なぜ3個なのか、わからないのです。
ご回答ありがとう。

お礼日時：2005/09/22 00:47

No.3 ベストアンサー 回答者： graduate_student 回答日時： 2005/09/21 00:20

以前にも同じような質問がありました．

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=88241

他にも
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/kyuu1.shtml

もっと知りたければ
http://search.yahoo.co.jp/bin/query?p=%bf%ed+%c2 …

この回答へのお礼

角錐は、なんとなく説明できそうです。

円錐は、球を使えば、説明できそうです。ただし、最初の方がおっしゃっている？ように、どうしても極限の話になりそうな気がします。

お礼日時：2005/09/22 00:46

No.2 回答者： mynamy373 回答日時： 2005/09/21 00:19

答えにはなりませんが・・・

なぜ１／３かというのは、確か高校の積分で証明されましたね。

私はその内容を小学６年くらいで習ったような気がしますが、その時には「容器と水」を利用して先生が説明しました。
同じ高さ、底面積の入れ物を２種類（円筒型と円錐型）用意して、実験的に習ったと思います。あの容器は教材用だと思います。

この回答へのお礼

私が中学生？のときも、先生がそんな風に説明していたような、ただし、当時の私は実験に不満でした。なつかしいですね

お礼日時：2005/09/22 00:42

No.1 回答者： nabla 回答日時： 2005/09/21 00:14

中学１年でしたら「実験」で１／３になっているとするしかない気がします。

１／３という比例定数自体、積分計算の中ででてくるものですし…
そもそも中学生って文字式に拒絶反応示す子が多いですしね。
一応１年生でも根気があれば理解可能な証明を（実際には３年生でも理解できるのはクラスに１人もいないと思います）

底面の円が半径ｒ、高さがｈの円錐を考える。

この円錐を底面に水平な面でｎ個にスライスします。（それぞれ厚さh/nのプリン型（一番上は円錐）になります。
このときめちゃくちゃ細かく切ると１つ１つのプリン型は円柱で近似できます。
一番上は半径r/n、高さh/n。２番目は半径2r/n、高さh/n…ｋ番目は半径kr/n、高さh/n。…最後のｎ番目は半径nr/n(＝r）、高さh/nの円柱と見なせます。
つまり円錐の体積をＶとすると

Ｖ＝π（r/n）^2×h/n（１＋２^２＋…＋ｎ^２）となります。
１＋２^２＋…＋ｎ^２＝1/6ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）という公式を使うと
Ｖ＝1/6πr^2h（１＋1/n）（２＋1/n）
となります。

ｎは非常に大きいという前提なので1/nは事実上０です。（これは実際にｎをだんだん大きくして実験してあげて下さい）
すると確かにおなじみの公式にたどり着きます。

どこかで極限操作がからむ以上、大筋はこんな証明になりそうです。
パップスギュルダンの定理を使うのも手ですが結局パップスギュルダンの定理の証明も極限操作がからみますし…
まあパップスギュルダンの定理の証明の方がまだこの証明よりも直感的に理解しやすい気もしますが。

この回答へのお礼

ありがとう。
たくさん、式もいただいて、感謝。

お礼日時：2005/09/22 00:40