立方体の中の正八面体

一辺１０ｃｍの立方体の中に、正八面体が入っている場合（６つの頂点が、立方体それぞれの面の中央に接している）の、正八面体の正三角形の一辺の長さの出し方、および正八面体の体積の出し方を、中学１年生にもわかるよう教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： anpankudasai 回答日時： 2003/11/18 23:42

正八面体はピラミッドのようなものを上下に２つくっつけた形をしていますよね？

くっつけた部分は正方形をしています。
その面にそって立方体を真っ二つにしてください。
その断面図をみると、辺が１０cm正方形の各辺の中点を頂点にもつ正方形が出来ると思います。
この正方形の辺の長さをｘとすると、

5^2 + 5^2 = x^2

という方程式が成り立ちます。(□^2　とは　「□の２乗」を意味します)すると、

x^2 = 50
x=5√2
と出ます。このｘは正八面体の辺の長さになりますね。

体積もこの断面図を使ってみます。
正八面体は、この5√2を一辺とする正方形を底面とする高さ5の四角錐を２つくっつけたものですよね？
よって、

四角錐の体積 = 1/3 ×　底面積　×　高さ

ですから、

V = 1/3 × (5√2 × 5√2) × 5 × 2

　= 500/3

「×２」は四角錐が２つあるからです。

No.3 回答者： kony0 回答日時： 2003/11/19 21:57

辺の長さは√が出るから無理があるとして、

体積のほうは、立方体の1/6倍であることはすぐにわかります。

・立方体を、真横に２つにスライスします。
→マッチ箱の中に四角錘が埋まっている図形が２つできます。
→マッチ箱と四角錘の体積の関係において、
　・底面積は半分
　・高さは同じ
　・柱→錘による1/3倍
で、体積1/6倍。

この回答へのお礼

皆様
早々とご丁寧にご回答いただきありがとうございました。厚くお礼申し上げます。

本欄でのお礼をもちまして、下記の方々へのお礼も兼ねさせていただきます。

お礼日時：2003/11/19 23:15

No.1 回答者： ebinamori 回答日時： 2003/11/18 22:51

中１ってピタゴラスの定理を習ってますか？

正八面体を四角錐二つに分けて考えてその四角錘の底面の
四角形の対角線の長さが１０ｃｍだから一辺の長さが
５√２になりこれが正三角形の一辺の長さになると思います。