よろしくお願いします。結構苦戦してるんです。
四面体OABCがある。OAを→a、OBを→b、OCを→cとする。
三角形ABCの重心をGとし、OCの中点をMとする。
OGと三角形MABの交わる点をLとした時、OLを→a、→b、→cを使って
あらわしなさい。 って問題なんです。試験に出そうなんです。誰か助けて!

A 回答 (2件)

点 G=(a+b+c)/3


線 OG=k(a+b+c)
線 MA=m(a-1/2c)+1/2c
線 MB=n(b-1/2c)+1/2c
面MAB=m(a-1/2c)+n(b-1/2c)+1/2c

なので
k(a+b+c)=m(a-1/2c)+n(b-1/2c)+1/2cより各ベクトルは独立的に等しいので
1 ka=ma
2 kb=mb
3 kc=(m(-c)+n(-c)+c)x1/2 
3式に1,2を代入
3’ kc=(k(-c)+k(-c)+c)x1/2 
  2kc=-2kc+c
  4kc=c   k=1/4
よって
点 L=1/4x(a+b+c)  あ、三角垂の重心です。
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この回答へのお礼

有難う!とっても助かった~~線と書いてあるのと、面って書いてあるのは
線分MA,MB上の点、面MAB上の任意の点って意味ですよね?
こんな質問してるようじゃだめかな?でも、少し分かってきたような気がします。

お礼日時:2001/11/24 12:34

あの・・・


このパターンの問題って、お手持ちの解答・解説付きの問題集なら類似問題が必ずあるはずですよ。
それは調べたりしましたか?

考え方としては、面MAB上の点を表すベクトルは、m*→MA + n*→MBと表せること、くらいかなぁ?
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございまーーーす。上の方と同じ回答をしなさいって事ですよね。
参考にします(^o^)/

お礼日時:2001/11/24 12:35

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途中までできたのですけど、その後が教科書の答えのように式をつくれませんでした。

まず私は、
AI=l(1/c・c→+1/b・b→) と式を作りました。
これはAIを求める時に、単位ベクトルを1とし、
その中で、1/c・cが当てはまるので、これで一般線形表示の式をつくりました。

つぎに、OIを題意では聞かれてるのですが、まずAIとBIを求めると、過去の問題で理由はわかりませんけど、順序良く求めていくものなのでBIの式をつくりました。
BI=K{1/c(-c) +1/a(-c)+1/a(b)} *(-c)とかは分子に掛かってます。
ただ、是は教科書のを見て書いたのですけど、
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BC=1/a・(a)ではダメで、きちんとBC=1/a(-c+b)としなくてはダメなのでしょうか?(質問1)

そのまま続たら、
BI=K{(-1/c-1/a)c + 1/a・b} とbとcで分けて
BI=BA+AIより、 K{(-1/c-1/a)c + 1/a・b}=-c+l/c・c+l/b・b 
この式を教科書見るとcとbで式を抜き出してました。
K{(-1/c-1/a)}=-1+l/c ...A
k/a=l/b....b
これはどうしてこのように出来るのですか?(質問2)
ベクトルcとbは平行ではない理由から、一つの式から抜き出して、分ける事の可能な理由を教えてください。
..bの式をK=に変形して...a二代入すると。
l=bc/a+b+cとなり、 AI=bc/a+b+C ×(1/c・c→+1/b・b→)....C ⇔OI =OA+AI の式をつくる。
OI=OA+AI=l+b/a+b+c×(m-l)+c/a+b+c(n-l) (質問3)OI=OA+AIの式を作るので、AIを求めたのですけど、どこから、(m-l)と(n-l)が生まれたのかわかりませんでした。>_<最後この部分をとけて答えがでるのですけど、AI=bc/a+b+c(1/c・c+1/b・b)の筈なんですけど。。。>_< 

三角形ABCの内心をIとする。辺BC,CA,ABの長さをa.b.cとしOA→=l→、OB→=m→、OC→=n→とするときOI→を求めよ。

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Aベストアンサー

「ベクトルAB」を (AB)↑ と書きます 「ベクトルm」は m↑ です。
ご質問に直接答えてないですが、まず、以下はOKですか?
(OA)↑= l↑
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(AB)↑= m↑ - l↑ よって (BA)↑= l↑ - m↑
(AC)↑= n↑ - l↑
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次に
(AB)↑の大きさを1にすると  (m↑ - l↑)/c よって (BA)↑の大きさを1にすると ( l↑ - m↑)/c
(AC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - l↑)/b
(BC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - m↑)/a
(AI)↑=h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} とかける
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} とかける
ここで
(AI)↑+(IB)↑= (AB)↑ より
(AI)↑-(BI)↑= (AB)↑すなわち
h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} - k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} = m↑ - l↑
n↑の係数を比較すると、h/b - k/a = 0 すなわち h = kb/a
m↑の係数を比較すると、h/c + k/c + k/a = 1 すなわち h/c + k(a+c)/ac = 1
第一式を第二式に代入してhを消去すると kb/ac + k(a+c)/ac = 1 すなわち k(a+b+c)/ac = 1
すなわち k = ac/(a+b+c) よって
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} ={ac/(a+b+c)}{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a}
={a/(a+b+c)}( l↑ - m↑) + {c/(a+b+c)}( n↑ - m↑)
={a/(a+b+c)}l↑ - {(a+c)/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
ここで(OI)↑=(OB)↑+(BI)↑ より
(OI)↑=(OB)↑+(BI)↑= m↑+ {a/(a+b+c)}l↑ - {(a+c)/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
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(BC)↑= n↑ - m↑
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解らないところは、この題意を読んでいて
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上の二つの式の意味です。


たぶん、この二つの関係をもちいて、なんとかして、a,bのなす角を求めるとおもうのですが、
それには、内積の公式を利用すると考えましたが。。 (cosΘ=a・b / |a||b|)

a・bの値と
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どなたか、この問題教えてください>_<
宜しくお願いします!!

Aベストアンサー

a→+b→+c→=0→ から c→=-a→ -b→ として c→ を消去する(最初の式に代入)
b→・(-a→ -b)=(-a→ -b→)・a→=a→・b→=-1
-(b→・a→) -|b→|^2=-|a→|^2 -(b→・a→)=a→・b→=-1
-(b→・a→) -|b→|^2=-|a→|^2 -(b→・a→) より
|b→|=|a→|
-|a→|^2 -(b→・a→)=a→・b→=-1 より
-|a→|^2=2(a→・b→) = -2
よって |b→|=|a→|=√2
a→・b→=|a→||b→|*cosθ=2cosθ= -1
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Q(a→-3b→+p→)・(a→ー3b→+p→)=4

与えられたベクトルOA=a→、OB=b→に対して、OP=p→が次の条件を満たすとき、点Pはそれぞれどんな図形を描くか。

(4)(a→-3b→+p→)・(a→ー3b→+p→)=4
{p-(3b-a)}・{p-(3b-a)}=4と式を変形して
3b-a=cより
(p-c)・(p-c)=2`2
よって3b-aの終点を中心とし、半径2の円となる。(答)

この問題よくわかりませんでした。
題意の式を変形して、=Cと置いたのは式が確かに見やすくなるのですが、これは、理由とかあるのでしょうか?なんとなく形が同じなので
同じものに置き換えても良いと考えてもいいのですが、発想が浮かびませんでした。どうしたらいいですか??
質問2つめは
(p-c)・(p-c)=2`2と式がなったのですが、
この式を見てわかることは、=の先の2`2という部分で円の式とわかるのですが、(p-c)・(p-c)から何か気がつくことってあるのですか??もしかしてそれがわかればCと置き換えた意味もわかる気がします。つまり問題を解く際に気がつくと思います。。
質問3:よって3b-aの終点を中心とし~とありますけど、
3b-aの終点を中心とし?ってどういう意味ですか?3b-aを置換えたぐらいしかこの問題は理解できませんでした。>_<
誰か教えてくださいお願いします。

与えられたベクトルOA=a→、OB=b→に対して、OP=p→が次の条件を満たすとき、点Pはそれぞれどんな図形を描くか。

(4)(a→-3b→+p→)・(a→ー3b→+p→)=4
{p-(3b-a)}・{p-(3b-a)}=4と式を変形して
3b-a=cより
(p-c)・(p-c)=2`2
よって3b-aの終点を中心とし、半径2の円となる。(答)

この問題よくわかりませんでした。
題意の式を変形して、=Cと置いたのは式が確かに見やすくなるのですが、これは、理由とかあるのでしょうか?なんとなく形が同じなので
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Aベストアンサー

>題意の式を変形して、=Cと置いたのは式が確かに見やすくなるので すが、これは、理由とかあるのでしょうか?なんとなく形が同じなので
同じものに置き換えても良いと考えてもいいのですが、発想が浮かびませんでした。どうしたらいいですか??

この質問ですが、あなたの学習の段階では別に置き換えに気づく必要はないですし、別に置き換えなくてもいいと思います。ただちょっと見やすくなるかなという程度です。
置き換える必要はないと判断する人もたくさんいると思います。
置き換えるかどうかは個人の好みの問題で置き換えても置き換えなくても数学の論理には全く影響ないですし、答えが合えば置き換えなくても
減点無しの満点がもらえます。

次に(p-c)(p-c)=2^2・・・(1)の式についてですが、
左辺すなわち「=の左側」ですが
(p-c)(p-c)=|p-c|^2となります。・・・(2)
^2は2乗の意味です。
そして|p-c|はベクトル(p-c)の大きさです。
(2)に関しては同じベクトルの積はベクトルの大きさの2乗というベクトルの基本公式です。
すなわちaa=|a|^2の公式です。(これに関しては教科書に太字で載っているので見てください。)

(2)を用いると(1)は
(p-c)(p-c)=|p-c|^2
=|p-(3b-a)|^2=2^2・・・・(3)
となります。

(3)においてベクトル(p-(3b-a))を考えます。
この時座標(x軸とy軸)を作り、原点0を取り、そこから適当にベクトルp、ベクトル(3b-a)をとってください。
そうするとベクトル(p-(3b-a))は点(3b-a)から点pに向かう矢印(ベクトル)・・・(4)になると思います。
式(3)は「その矢印の長さの2乗」が「2の2乗」になるということです。
それは「(4)の矢印の長さ」が2になるということです。
また言い換えますと「点(3b-a)から点pに向かう矢印の長さ」が2になるということです。・・・(5)

ゆえに条件(5)を満たす点pが答えとなります。

条件(5)を見てみると、点(3b-a)を中心とした半径2の円上に点p
を定めるとその点は全て条件(5){「点(3b-a)から点pに向かう矢印の長さ」が2}を満たすことが分かります。

すなわち答えは点(3b-a)を中心とした半径2の円全体となります。

分かりましたでしょうか?
自分で図を書いて考えてみてください。

>題意の式を変形して、=Cと置いたのは式が確かに見やすくなるので すが、これは、理由とかあるのでしょうか?なんとなく形が同じなので
同じものに置き換えても良いと考えてもいいのですが、発想が浮かびませんでした。どうしたらいいですか??

この質問ですが、あなたの学習の段階では別に置き換えに気づく必要はないですし、別に置き換えなくてもいいと思います。ただちょっと見やすくなるかなという程度です。
置き換える必要はないと判断する人もたくさんいると思います。
置き換えるかどうかは個人...続きを読む

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Aベストアンサー

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任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりましたので、ここで方べきの定理を使用します。
1点より、同じ方向へ、(2a/3)と(√3)bを直線上にとり、この差の半分の長さで円を描きます(この直線上に円の中心がある)。全ての点は同一直線上にある。
つぎに、最初の1点と円の中心点とを直径とする円を描き、交点と最初の1点を結ぶと、接線となり、此がcとなります。
此を1辺とする正三角形を書けば出来上がりです。
作図をするときにa,bを入れ替えてしても同じ結果になります。

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりまし...続きを読む

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c→・a→=-4、 a→・b→=-5
を満たす時、

(1)三角形ABCの3辺の長さをもとめよ。
(2)三角形ABCの面積Sを求めよ。

この問題の(2)が解けませんでした。

(1)は|c|→=√6 |b|→=√7
|a|→=3となって、 BC=3、CA=√7、AB=√6と答えがでました。

(2)は 教科書の回答をみたら
b→・c→=|b→||c→|Cos(180°-A)
と式を作るみたいなのですけど。。
どうして内積の公式を使うとしても
Cos(180°ーA)なのですか?
三角形ABCの図を描いてみたら、Aの外にある角度のことですよね??(なす角ってことですか)

そのあと、(1)の結果を代入すると
上の式が
-2=√7√6(-CosA)と成ってましたが、
ーCosAとどうして代わったのかわかりませんでした。

この後は、S=1/2AC・ABsinAをして面積Sを求めてました。

どなたか、どうしてーCosAに変化したのか教えてください。宜しくおねがいします>_<!!

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(1)は|c|→=√6 |b|→=√7
|a|→=3となって、 BC=3、CA=√7、AB=√6と答えがでました。

(2)は 教科書の回答をみたら
b→・c→=|b→||c→|Cos(180°-A)
と式を作るみたいなのですけど。。
どうして...続きを読む

Aベストアンサー

>b→・c→=|b→||c→|Cos(180°-A)
>と式を作るみたいなのですけど。。
>どうして内積の公式を使うとしても
>Cos(180°ーA)なのですか?
(180°-A)はb→とc→のなす角です。
AC→とAB→のなす角ならばAなのですが、この場合CA→とAB→のなす角だから(180°-A)なのです。図を描いて確かめてください。

>ーCosAとどうして代わったのかわかりませんでした。
三角比の公式です。 cos(180-A)=-cosA


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