半径80cmの円に内接するアステロイド曲線の長さを教えて下さい。

A 回答 (1件)

半径 a の円に内接するアステロイドの式は


(1)  x^(2/3) + y^(2/3) = a^(3/2)
です.
対称性から,第1象限(x>0,y>0)だけ考えておけば十分です.
(1)を x で微分して
(2)  (2/3)x^(-1/3) + (2/3)y^(-1/3)(dy/dx) = 0
ですから
(3)  dy/dx = -(y/x)^(1/3)
で,
(4)  √{1+(dy/dx)^2} = √{1+(y/x)^(2/3)} = (a/x)^(1/3)
になります.
長さの公式から
(5)  L = 4 ∫(0~a) √{1+(dy/dx)^2} dx
     = 4 ∫(0~a) (a/x)^(1/3) dx = 6a
が得られます.

a = 80 cm なら,1周は 480 cm ということになります.
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Qアステロイドの面積の出し方を教えて下さい

積分の応用で、できると思うんですけど、いまいちわかりません。
どうやってだすんですか?

Aベストアンサー

アステロイドx=a(cost)^3,y=a(sint)^3 (a>0)
の囲む面積Sならば
   S=4∫(0からaまで)ydx  だから
   x=a(cost)^3で置換すると
   dx=-3a(cost)^2・sintdt
S=4∫(π/2から0まで)a(sint)^3・-3a(cost)^2・sintdt
=12a^2∫(0から2πまで)(sint)^4・(cost)^2dt
=12a^2∫(0から2πまで)((sint)^4-(sint)^6)dt
=12a^2(I(4)―I(6))
   I(n)=∫(π/2から0まで)(sint)^ndtとすると
   I(n)=((n-1)/n)・I(n-2)
   I(2)=π/4より(2倍角の公式を使い積分)
   I(4)=3π/16,I(6)=5π/32
S=(3πa^2)/8            (終)
 
 
 

    


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