sinx=cosxの解き方が分かりません。どうぞ、教えてください。

A 回答 (7件)

両辺をcosxで割って


tanx=1
を解く、というのはどうでしょう。
解は45°+180°n (nは整数)。

なお cosx=0 となるときsinx≠0 ですね。
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u-v平面を考えます。

u=cosx,v=sinxと置くとu^2+v^2=0を満たします。図形的には原点を中心とする半径1の円ですね。
逆にu-v平面で、円u^2+v^2=1上の点は(その点と原点を結ぶ線分とu軸の正方向とがなす角をxとすれば)u=cosx,v=sinxと置けます。

従って、sinx=cosxは円u^2+v^2=1と直線u=v直線の交点です。
u=vは原点を通り傾き1の直線です。
交点は直線上にあるわけですから、x=π/4+nπ(nは整数)
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sinX=cosX


sinX-cosX=0
三角関数の合成をします。
√2(1/√2・sin-1/√2・cosX)=0
1/√2 は X=45°ですから
√2(sinX・cos45°-cosX・sin45°)=0
よって
√2sin(X-45°)=0
これが成り立つのは sin(X-45°)=0
(X-45°)=θ と置くと
θ=0°,θ=180°の時です。
X-45°=0° X-45°=180°より
X=45°X=225°
Xの範囲が指定していなければ
一般角で表しますので
X=45°+180°・n(nは整数) 
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方程式を解く、ということですか。



y=sinx
y=cosx

のグラフを考えて、両者が一致する(線が交差する)場所を考えればいいでしょう。(これに限らず、他のものでも、だいたいこれでいけます)
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両辺2乗してsin2乗X=cos2乗X


次にcos2乗Xを両辺に無理やり加算する、sin2乗X+cos2乗X=2cos2乗X
sin2乗X+cos2乗X=1なので、1=2cos2乗X、よってcos2乗X=1/2
からcosx=±(1/√2)、ゆえにX=(π/4)±nπ 「nは整数」
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まず,


sin x - cos x =0
ですね。
次に,三角関数の加法定理のところで,「単振動の合成」を学んだと思います。
それを使って変形すると,
a sin (x + b) =0
となります。(a, bは定数です。いくつになるかは書きません。自分で考えてみてください)
したがって,
sin (x + b) =0
x + b = nπ (nは任意の整数)
x = -b + nπ
もし,角度の単位が度なら,最後のところは
x + b = n×180°
として考えればいいですね。

No.1の参考URLは(sin x)′=cos x,つまり「sinを微分するとcosになる」という話だと思いますが…。
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参考URLのところは参考になるかな?



参考URL:http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/sinb …
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Q「A地点とB地点にいる二人が同時に出発して接近した」この問題の解き方を教えてください

「A地点とB地点にいる二人が同時に出発して接近した」この問題の解き方を教えてください

問題
A地点にいるA君と、B地点にいるB君が同時に出発して接近した。
A君は時速4キロ、B君は時速8キロで移動した
A地点とB地点は10キロ離れている
さて二人が接触する地点の位置はどこで、出発時刻から何分後か?
道中は平坦な直線であり途中に坂や障害などはないとする

さてこの問題の解き方を教えてください

小学校算数での解き方、
中学校数学での解き方、
高校数学での解き方、
それぞれ教えてください

Aベストアンサー

A君は時速4キロ、B君は時速8キロで近づいているので、
合わせて時速12キロで近付いています。
2人が接触するのは10/12=50/60時間=50分です。

t分後に接触したとして、
A君は時速4キロで、4*t/60キロ移動しています。
B君は時速8キロで、8*t/60キロ移動しています。
二人は合計で10キロ移動したので、
4*t/60+8*t/60=10
12t=600
t=50分後です。

A君は時速4キロでxキロ、
B君は時速8キロでyキロ、
走った時に接触したとして、
x+y=10
x/4=y/8
なので、
x=2y
3y=10
y=10/3
10/3÷4=10/12時間=50分後です。

Qy=(cosx+2sinx+1)/(cosx-3sinx+5)

y=(cosx+2sinx+1)/(cosx-3sinx+5) xは実数全体
yの取り得る範囲を求めよ。

次のような考え方をしましたが、別解を教えてください。
右辺=kとおいて、整理すると、
sin(x+a)=-(5k-1)/√(10x^2+10k+5)
ここで左辺が-1から1までの値をとるから
右辺も-1から1までの値をとるkの範囲を求めると
(10-2√10)/15から(10+2√10)/15
となりました。

Aベストアンサー

途中計算でどこかで間違っているようです。
>(10-2√10)/15から(10+2√10)/15
これは間違い。たとえばx=-π/2でy<0、x=π/2でy>1.4になり最小値、最大値は質問者さんの求めた範囲から飛び出しています。

yは周期2πの周期関数なのでyの範囲は1周期、たとえば-π<x≦πでyの取りうる範囲を調べれば十分です。
1周期の範囲に渡って増減表を作れば最小値、最大値が求まります。

-π<x≦πで考えると極小値(最小値となる)と極大値(最大値となる)が各1つずつ存在することが増減表から(グラフから)分かり、
x=-π+arcsin{(-20+52√10)/185}の時
y(min)={5√(416√10+1357)+104√50-225√5}/{5√(416√10+1357)-156√50-865√5}
=-0.176607...
x=π-arcsin{(20+52√10)/185}の時
y(max)={-104√50+5√(1357-416√10)-225√5}/{156√50+5√(1357-416√10)-865√5}
   =1.50994...
が求まります。

途中計算でどこかで間違っているようです。
>(10-2√10)/15から(10+2√10)/15
これは間違い。たとえばx=-π/2でy<0、x=π/2でy>1.4になり最小値、最大値は質問者さんの求めた範囲から飛び出しています。

yは周期2πの周期関数なのでyの範囲は1周期、たとえば-π<x≦πでyの取りうる範囲を調べれば十分です。
1周期の範囲に渡って増減表を作れば最小値、最大値が求まります。

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Q問題の解き方をHPにのせるときの著作権について

はじめまして。
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教科書の章末問題などでは、問題と答えだけしかのってないものがありますよね。
自分流に問題をといて、解き方をHP上にのせるのは
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Aベストアンサー

> 自分流に問題をといて、解き方をHP上にのせるのは
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なりません。

> 「~~という本のP32の問1の解き方」とか書いたら侵害になるのでしょうか?

もし、このURLに書いてみる内容と合致すれば、
問題ないのかも。
http://www.cric.or.jp/qa/sodan/sodan6_qa.html

私も法律家ではないので詳しくはないですが、
こちらを参考にされてみてはいかが?
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用いる方法とがあります。

合成では、
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=√2{(1/√2)sinx-(1/√2)cosx}
=√2{sinxcos(π/4)-sin(π/4)cosx}
=√2{sin(x-(π/4))}


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sinx-cosx
=sinx-sin((π/2)-x)
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=(√2)sin(x-(π/4))

Q指数関数の解き方

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   ax+a-x
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分子と分母に a^x をかけましょう。

分子は a^{4x}-1 = (a^{2x})^2-1 = 3^2 - 1
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Qy=sinxcosxとy=sinx+cosx

y=sinxcosxとy=sinx+cosxのグラフの書き方が分かりません。sinとcosのグラフを書いてその二つをかけたり足したりすればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

単にグラフを描きたいだけならExcelで簡単にできます。以下の手順でグラフを描いてみてください。これはVBAを使った計算プログラムですが、(1)から(5)までの手順を行えば簡単にできます。

(1)Excelを起動→キーボードのAltキーを押しながらF8キーを押す(Atl+F8)と、マクロというウィンドウが出るので、その名前欄(マクロ名(M)の下の箱)に適当な名前(aaa)をかきこんで(括弧はつけないで aaa だけ記入)、実行をクリック

(2)画面が変わって、Microdoft Visual Basic ... というのになりますが、真っ白な画面に出ている Sub aaa() と End Sub の間の空の行に、以下のプログラムをコピー&ペーストします(以下の文をマウスで選択してCtrl+Cでコピー、Ctrl+Vでペースト)。

↓ここからコピー
Dim i As Integer, n As Integer, x As Single, x0 As Single, x1 As Single
'
n = 100 ' データ点は100個
x0 = 0: x1 = 2 * 3.141593 ' x=0から2*πまでの範囲
'
For i = 0 To n
x = x0 + i * (x1 - x0) / n ' xの計算
Cells(i + 1, 1) = x ' ワークシートのA列に x の値を書き込む
Cells(i + 1, 2) = Sin(x) * Cos(x) ' ワークシートのB列に sinxcosx の値を書き込む
Cells(i + 1, 3) = Sin(x) + Cos(x) ' ワークシートのC列に sinx+cosx の値を書き込む
Next i
↑ここまでコピー

(3)ペーストすると、以下のようになると思います。

Sub aaa()
Dim i As Integer, n As Integer, x As Single, x0 As Single, x1 As Single
'
n = 100 ' データ点は100個
x0 = 0: x1 = 2 * 3.141593 ' x=0から2*πまでの範囲
'
For i = 0 To n
x = x0 + i * (x1 - x0) / n ' xの計算
Cells(i + 1, 1) = x ' ワークシートのA列に x の値を書き込む
Cells(i + 1, 2) = Sin(x) * Cos(x) ' ワークシートのB列に sinxcosx の値を書き込む
Cells(i + 1, 3) = Sin(x) + Cos(x) ' ワークシートのC列に sinx+cosx の値を書き込む
Next i
End Sub

(4)Excelのワークシート画面(表が出ているウィンドウ)に戻って、キーボードのAltキーを押しながらF8キーを押す(Atl+F8) → 再びマクロというウィンドウが出るので、その「実行」をクリックする(カーソルを合わせないでEnetキーを押すだけでもいい) → ワークシート画面のA列にxの値、B列にsinxcosxの値、C列にsinx+cosxの値がズラリと出る!。

(5) (グラフの描き方をご存知なら以下は飛ばしてください)
セルA1からC101までをマウスカーソルで選択して → メニューの「挿入」 → 「グラフ」 を選択 → グラフの種類の「散布図」を選んで「形式」は適当なのを選んで「完了」をクリック → これで sinxcosx と sinx+cosx のグラフが描画されます。

なお、このプログラムでは 、データ数は 100 、x の範囲は 0 から 2*π まででとしていますが、これを変えるには、プログラム中の以下の数値(nとx0とx1)の値を書き換えてください。n を変えたときは、(4)をもう1度実行して、さらにワークシートに出ているグラフの描画範囲も変えてください。

n = 100 ' データ点は100個 → n を大きくすると細かいグラフになります
x0 = 0: x1 = 2 * 3.141593 ' x=0から2*πまでの範囲 → x0=-10:x1=10 とすれば -10≦x≦10 の範囲のグラフが描けます

単にグラフを描きたいだけならExcelで簡単にできます。以下の手順でグラフを描いてみてください。これはVBAを使った計算プログラムですが、(1)から(5)までの手順を行えば簡単にできます。

(1)Excelを起動→キーボードのAltキーを押しながらF8キーを押す(Atl+F8)と、マクロというウィンドウが出るので、その名前欄(マクロ名(M)の下の箱)に適当な名前(aaa)をかきこんで(括弧はつけないで aaa だけ記入)、実行をクリック

(2)画面が変わって、Microdoft Visual Basic ... というのになりますが...続きを読む

Q因数分解の解き方について

因数分解の解き方について
質問です。

3x2 -7x+2

たすき掛けをつかわない
因数分解の解き方を
教えてください。

たしか、海外の学生の解き方で、
まず数字をかけるやり方だったと思います。

分数などにはせず、
最後は見事に解答が出る方法です。

思い出せず、モヤモヤしています。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>>>たしか、海外の学生の解き方で、まず数字をかけるやり方だったと思います。

ありましたね。

>>>思い出せず、モヤモヤしています。

私もサイトをお気に入りに入れていなかったので、もやもやしています。^^

たぶん、x^2 につく係数を整数の2乗にするんじゃなかったかと思います。

これでうまくいっているのかわかりませんが、3をかけて
9x^2 - 3×7x + 6 = (3x+a)(3x+b)
 = 9x^2 + 3(a+b)x + ab
としてみると、
a+b = -7
ab = 6
なので、
a=-1、b=-6

わりと楽に行きました。
最後の仕上げに、3で割って元に戻しましょう。

ただし、これが思い出せないやり方と同じなのかわかりませんが・・・

Qsin(sinx)=cos(cosx)のグラフについて

関数グラフソフト「GRAPES]でタイトルの数式をグラフにすると,閉鎖した円状のものが周期的に現れます。こういうものを数学的に理解するにはどのようにしたらよいのでしょうか?この式を見ただけで想像できることなのでしょうか?

Aベストアンサー

No.2では近似計算で円に近いものであることを示しましたが、今度はご質問の曲線が周期的に並ぶ閉曲線であることを証明しましょう。

f(x) = cos(cos(x))
これは、周期πの周期関数です。また、cos(1)≦f(x)≦1 であり、f(x)は常に正です。
nを整数として、x = nπ のときf(x)は最小値 cos(1) をとります。

g(y) = sin(sin(x))
これは、周期2πの周期関数です。-sin(1)≦g(y)≦sin(1) です。
mを整数として、y = (2m + 1/2)π のとき最大値 sin(1)をとります。
また、(2m-1)π<y<2mπ のとき、g(y)は負となります。

ここで、h(x, y) = f(x) - g(y) とおきます。ご質問の曲線は、h(x, y) = 0 と表わされます。

h(x, y)はx方向に周期π、y方向に周期πの周期関数です。そこで、-π/2≦x≦π/2, -π≦y≦π で表される、x方向に幅π、y方向に高さ2πの長方形Rの範囲を考えます。周期関数ですから、長方形の外は、周期的に長方形の内部と同じになります。

長方形Rの下半分、つまり-π≦y≦0 の範囲をR1とします。R1では、g(y)≦0です。また、f(x)は常に正ですから、h(x, y)>0 となります。したがって、R1の中に h(x, y) = 0 はありません。

長方形Rの上半分、つまり0≦y≦πの範囲をR2とします。R2は正方形です。R2の辺上では、h(x, y)>0 となっています。R2の内部でh(x, y)が最小となるのは、x = 0, y = π/2 のときで、h(x, y) = cos(1) - sin(1) となります。これは負の数です。

つまり、正方形R2の辺上ではh(x, y)>0 であるが、R2の内部には h(x, y)<0 となる点があるので、R2内でh(x, y) = 0 は閉曲線になります。

No.2では近似計算で円に近いものであることを示しましたが、今度はご質問の曲線が周期的に並ぶ閉曲線であることを証明しましょう。

f(x) = cos(cos(x))
これは、周期πの周期関数です。また、cos(1)≦f(x)≦1 であり、f(x)は常に正です。
nを整数として、x = nπ のときf(x)は最小値 cos(1) をとります。

g(y) = sin(sin(x))
これは、周期2πの周期関数です。-sin(1)≦g(y)≦sin(1) です。
mを整数として、y = (2m + 1/2)π のとき最大値 sin(1)をとります。
また、(2m-1)π<y<2mπ のとき、g(y)は負となりま...続きを読む

Q不等式の解き方教えてください!

不等式の解き方教えてください!
(100+z)-(100+z)×0.2≧100
↑↑の解き方を教えてください!

Aベストアンサー

(100+z)-(100+z)×0.2≧100

わかりやすく、ばらばらにしましょう。

100+Z-0.2×100-0.2×z≧100

つぎにまとめましょう。

(1-0.2)×z+(1-0.2)×100 ≧100

けいさんをすすめましょう

0.8×z+0.8×100≧100

さらにすすめましょう

0.8×z+80≧100

つぎに、りょうほうのしきから80をひいてみましょう

0.8×z+80-80 ≧100-80

ぱずるといっしょですね。

0.8×z ≧20

こんどはりょうほうのしきを0.8でわってみましょう

0.8÷0.8×z ≧20÷0.8

z≧20÷0.8=200÷8=100÷4=50÷2=25

だから・・・

z≧25

となりますね

Qy=sinx+cosxの最大値と最小値を求める方法を教えてください

合成して、y=√2*sin(x+π/4)にするところまでは、いけました。

回答おまちしております。

Aベストアンサー

sin(x+π/4)の最大値は1最小値は-1です。
よって、、、


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