ローラン展開の問題

複素関数g(z)=z/sinzを考える

(a) g(z)の極を全て求めよ

(b) g(z)について極の近傍におけるローラン展開の主要部を求めよ。


という問題なんですが、(b)の「近傍におけるローラン展開」というのがよくわかりません。「・・を中心とするローラン級数を求めよ」という言い回しは教科書中にあるのですが、これと同じ意味なのでしょうか？

年末年始で先生にも聞けずに困っています、もしお分かりの方がいらっしゃいましたらご教授願えないでしょうか。
解答も書いてくださると大変助かります。

よろしくお願いします

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2005/12/31 03:32

> 「近傍におけるローラン展開」というのがよくわかりません。

> 「・・を中心とするローラン級数を求めよ」という言い回しは教科書中にあるのですが、
> これと同じ意味なのでしょうか？

うるさく言うと多少違うと思います．

例を挙げるのがわかりやすいでしょう．
(1)　f(z) = 1/{(z-1)(z-2)}
を考えます．
f(z) の極は明らかに z=1 と z=2 で，それ以外では f(z) は正則です．
で，「z=0 を中心とするローラン級数」と言った場合には，
|z|<1，1<|z|<2，2<|z|，の３領域に分けて，それぞれ求めないといけません．
領域によって，ローラン展開の形が違います．
つまり，z=0 の近傍からだんだん円の半径を広げていって，
極 z=1 に達したときにその展開は使えなくなります．

テキストによってはそこまでうるさく言わないで，
「z=0 を中心とする展開」と言ったときに，
|z|<1 の展開のみを指していることもあるようです．

「z=0 近傍におけるローラン展開」と言えば，
z=0 を中心にした展開で，|z|<1 で有効な表式のみ書けばよいわけです．
収束半径は１ということになります．

問題は，「級数」か「展開」か，ではなくて，
「近傍」と限定しているか，「中心とする」とだけか，
です．

今の問題では，g(z) の極が sin z = 0 となる点(z=0 は除く)，
すなわち z=nπ (n = ±1, ±2, ±3,...)ですから，
あとはやさしいでしょう．

なお，主要部というのはローラン級数のベキが負の部分です．

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2005/12/31 02:09

＞ (b)の「近傍におけるローラン展開」というのがよくわかりません。

「・・を中心とするローラン級数を求めよ」という言い回しは教科書中にあるのですが、これと同じ意味なのでしょうか？

同じです。