お酒好きのおしりトラブル対策とは

複素関数g(z)=z/sinzを考える

(a) g(z)の極を全て求めよ

(b) g(z)について極の近傍におけるローラン展開の主要部を求めよ。


という問題なんですが、(b)の「近傍におけるローラン展開」というのがよくわかりません。「・・を中心とするローラン級数を求めよ」という言い回しは教科書中にあるのですが、これと同じ意味なのでしょうか?

年末年始で先生にも聞けずに困っています、もしお分かりの方がいらっしゃいましたらご教授願えないでしょうか。
解答も書いてくださると大変助かります。

よろしくお願いします

A 回答 (2件)

> 「近傍におけるローラン展開」というのがよくわかりません。


> 「・・を中心とするローラン級数を求めよ」という言い回しは教科書中にあるのですが、
> これと同じ意味なのでしょうか?

うるさく言うと多少違うと思います.

例を挙げるのがわかりやすいでしょう.
(1) f(z) = 1/{(z-1)(z-2)}
を考えます.
f(z) の極は明らかに z=1 と z=2 で,それ以外では f(z) は正則です.
で,「z=0 を中心とするローラン級数」と言った場合には,
|z|<1,1<|z|<2,2<|z|,の3領域に分けて,それぞれ求めないといけません.
領域によって,ローラン展開の形が違います.
つまり,z=0 の近傍からだんだん円の半径を広げていって,
極 z=1 に達したときにその展開は使えなくなります.

テキストによってはそこまでうるさく言わないで,
「z=0 を中心とする展開」と言ったときに,
|z|<1 の展開のみを指していることもあるようです.

「z=0 近傍におけるローラン展開」と言えば,
z=0 を中心にした展開で,|z|<1 で有効な表式のみ書けばよいわけです.
収束半径は1ということになります.

問題は,「級数」か「展開」か,ではなくて,
「近傍」と限定しているか,「中心とする」とだけか,
です.

今の問題では,g(z) の極が sin z = 0 となる点(z=0 は除く),
すなわち z=nπ (n = ±1, ±2, ±3,...)ですから,
あとはやさしいでしょう.

なお,主要部というのはローラン級数のベキが負の部分です.
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> (b)の「近傍におけるローラン展開」というのがよくわかりません。

「・・を中心とするローラン級数を求めよ」という言い回しは教科書中にあるのですが、これと同じ意味なのでしょうか?

同じです。
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Qテイラー展開とローラン展開

テイラー展開とローラン展開の問題の解き方がよく分かりません。どちらにもマクローリン展開を用いるようなのですが・・・。例えば、z=-iを中心に関数f(z)=1/zをテイラー展開及びローラン展開するにはどうすれば良いのでしょうか?式をできるだけ詳しく説明して頂けると助かります。

Aベストアンサー

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ローラン展開も領域を意識したほうがいいと思います。
例えば、環状領域は0<|z|<+∞、0<|z-1|<1などと表されます。

>また、ローラン展開をする際は必ずマクローリン展開(u=z-aとおく等してz=0でテイラー展開)を用いるのでしょうか?

必ずしもそうとは言えません。与えられた関数によるでしょう。
例として

f(z)={(z^2)-1}/{(z+1)(2z-1)}の0<|z-(1/2)|<(1/2)
でのローラン展開を求めると、
f(z)=(z-1)/(2z-1)=(1/2)*{1-1/(2z-1)}=(1/2)-(1/4)*{1/(z-1/2)}
従って、f(z)=(1/2)-(1/4)*(z-(1/2))^(-1)

というように、テイラー展開を用いなくてもローラン展開が出来るものもあります。
(途中の計算は確認してください。)

また、領域を意識する必要性は#1のローラン展開の例で領域を0<|z-1|<1
に変えると当然一意性があるので違ったローラン展開になります。(g(z)=-1/zとおいて計算する。)

自分の授業の話ですが複素解析学ではマクローリン展開と言わなかったような気がします。(教授の好みかもしれません。)

それでは頑張って下さい。

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ロ...続きを読む

Qexp(1/z)の原点のまわりでローラン展開について質問です。

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どなたかお助けください。

Aベストアンサー

よい点に気づかれたと思います。
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Q【応用解析】特異点 留数 位数について

特異点、留数、位数の求め方(考え方)を教えてください。
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宜しくお願いします。

Aベストアンサー

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
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についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
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Q複素解析で、極の位数の求め方

無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
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によると、留数を求めるのに極の位数が必要だと書いています。

極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか?

Aベストアンサー

>極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、
>位数の求め方がわかりません。
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を因数として持つとき(q(z)=0がm重解を持つとき)
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位数mを求めるにはz=aが何重解かを求めればそれがmになります。

Qローラン展開について教えて下さい。

ローラン展開はテイラー展開とは異なり、留数や特異点でも式を展開することが可能なものですが、
これの使い方がどうしても分かりません。
もちろん書籍で調べたり、ネットで検索してもどうしても分からなかったので教えて下さい。


http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex-function/20081015/node1.html

級数展開して、それぞれの級数の係数の計算の仕方についてですが、
上記のページの上から4つめの式に表されるように、元の式を(z-c)^{n+1}で割ったものを|z-c|=Rで積分することで求められますが、
このRという定数はどこからやってくるのでしょうか?

それとこの積分はf(z)の式によっては解くのが非常に難しい積分になることもあり得ますが、
そういう場合にはどうやって計算するのでしょうか?

具体的な計算を見てみたいのですが、
リンク先である
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex-function/20081015/node2.html

では、露わに上記の積分の計算を行わずに、ローラン展開を行っています。
書籍などを見てみても、上記の積分をしている例題が見つかりませんでした。

一体ローラン展開はどうやってやれば良いのでしょうか?

ローラン展開はテイラー展開とは異なり、留数や特異点でも式を展開することが可能なものですが、
これの使い方がどうしても分かりません。
もちろん書籍で調べたり、ネットで検索してもどうしても分からなかったので教えて下さい。


http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex-function/20081015/node1.html

級数展開して、それぞれの級数の係数の計算の仕方についてですが、
上記のページの上から4つめの式に表されるように、元の式を(z-c)^{n+1}で割ったものを|z-c|=Rで積分することで求められ...続きを読む

Aベストアンサー

質問が3つあるので(クエスチョンマーク3つ),
上から (1), (2), (3) と番号を付け,(1) -> (3) -> (2) の順で答えます.

(1)
R は任意の正数でよいです.

k番目の係数 a_k がこれで計算できる理由を考えればよいのですが,
 ∫[|z-c|=R] dz/(z-c)^k = 2πi (k = 1), 0 (k ≠ 1)
という式が,任意の整数 R について成り立ちます.
(コーシーの積分定理と合わせて確認してください).
f(z) = Σ[n=-∞,∞] a_n (z-c)^n という式があれば,
(z-c)^{k+1} で割って積分すると,上の積分の式から a_k の項以外が
全部消える,という理屈なので,R は任意です.

(3)
「ローラン展開の一意性」というものがあります.
これは「ローラン展開可能な関数のローラン展開は一意」というもので,
どのような方法で展開しても正しい展開が得られることを保証します.
その例題では,1/(1-z) = 1 + z + z^2 + ... という
良く知られた等式を用いてローラン展開を計算していますが,
積分を計算するのは面倒なので,試験などで出てくる問題では
こういう方法を組み合わせて展開することのほうが多いです.
複素積分を陽に計算するのは最終手段です.

(2)
1/(1-z) などの組合せも使えず,複素積分もよくわからない.
そんな場合は事実上「お手上げ」で,諦めるしかありません.
(近似値で良ければ数値計算するとかになります).
実際,ローラン展開の係数が陽に分かっていない関数は大量にあるので,
そういうものが出てきたとき,改めて考えるのが吉だと思います.

質問が3つあるので(クエスチョンマーク3つ),
上から (1), (2), (3) と番号を付け,(1) -> (3) -> (2) の順で答えます.

(1)
R は任意の正数でよいです.

k番目の係数 a_k がこれで計算できる理由を考えればよいのですが,
 ∫[|z-c|=R] dz/(z-c)^k = 2πi (k = 1), 0 (k ≠ 1)
という式が,任意の整数 R について成り立ちます.
(コーシーの積分定理と合わせて確認してください).
f(z) = Σ[n=-∞,∞] a_n (z-c)^n という式があれば,
(z-c)^{k+1} で割って積分すると,上の積分の式から a_k の項...続きを読む

QΣと∫って入れ替えできるんですか!?

Σと∫を入れ替えられる条件とはなんでしょうか?
例えば
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という式があって
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のようにΣと∫が入れ替えて使っているのを見たことがあります。

さらに、同じようにlimと∫が入れ替えて使える時と言うのはどういうときなんでしょうか?
lim∫1/t dt 
=∫lim1/t dt
みたいな感じです。

お願いします!教えてください!!

Aベストアンサー

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、無限範囲なのかも明記する
などして質問を投げないと希望するような回答は得られませんよ。
特に、特異なケースも含めた一般論の回答は特に難しいですから(現在も解決していない特異なケースも含まれる可能性もあるので)。

また、どの程度(高校レベル、大学レベル、それ以上の大学院や専門家レベル)での回答を求められているか、回答者には分かりませんし、
質問者に理解できないレベルの回答をしても意味がないですから。

有限と無限の間には、簡単に有限で成り立つ法則が必ずしも、無限では成り立たない(適用できない)ケースがしばしば現れますから。。。

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、...続きを読む

Qテイラー展開とべき級数展開の違いは何ですか?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%95%B0

ずっとテイラー展開とべき級数展開は同じものであると思っていたのですが、
上記のページをみると
「第1種ベッセル関数はまた、X=0のまわりでのテイラー展開(非整数の に対しては、より一般にべき級数展開)によって定義することもできる。」
と書かれているのですが、
テイラー展開とべき級数展開ってどう違うのでしょうか?

Aベストアンサー

結論から言うと,その記事の言葉の用法がマイナーで,
通常は(原点中心の)テイラー展開とべき級数展開は同じ意味で使われます.

その記事のその部分では,ベッセル関数の級数展開がαが非整数だと
テイラー展開になっていない,ということを注意したかったのだと思います.
しかし,現状では不正確な書き方になっていて,
 (1) 負の整数に対してもテイラー展開にならない.
 (2) 非整数べきの現れる級数を単にべき級数と呼ぶことは少ない.
という2点を考慮して,適当に直すべきです.

ちなみにその記事は,英語版の記事を和訳したものですが,英語版では
 (a) 該当部は単に Taylor series expansion となっている.
 (b) integer or non-integer のコメントは,この文でないところに入っている.
という状況になっています.
きっと和訳した人が (a) はマズイと思って補足したのでしょうが,
そのときに (b) を誤って取り入れてしまい,こんなことになったのだと思います.

Qローラン展開の問題がわかりません

f(z)=-(1/x^2+9) z=3i

この問題は因数分解でf(z)=-1/(z+3)(z-3)としてからマクローリン展開の
1/(1-z)=1+z+z^2+...を使って求めるものなのでしょうか?

Aベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足の質問の回答

>g(z)=-1/(z+3i)から
g(z)=-1/(2a)+(z-a)/(4a^2)-(z-a)^2/(8a^3)+(z-a)^3/(16a^4)-(z-a)^4/(32a^5)+...
と書いてますがこれはマクローリン展開の1/(1-x)を使って導出したのでしょうか?もう少し詳しくお願い致します

ANo.2に
「g(z)=-1/(z+3i)
の z=a=3iにおけるテーラー展開を求めます。」
と書いてあるでしょう。

この問題では「マクローリン展開の1/(1-x)を使って導出」する必要性はありません。
無理にそうしても、計算がさらに煩雑になるだけです。

>f(z)=g(z)/(z-a)=-1/(2a(z-a))+1/(4a^2)-(z-a)/(8a^3)+(z-a)^2/(16a^4)-(z-a)^3/(32a^5)+...
>上の式にa=3iを代入していくと、
>-1/(2a(z-a))が(i/6)*(1/z-3i)となるみたいですが
>(1/z-3i)はz-aに代入したというのは分かりますが
↑↑↑↑ ????

(z-3i) ⇔ (z-a) です。

>i/6となるにはどうすればいいのでしょうか?

-1/(2a(z-a))=-1/(2×3i(z-3i))=(-1/i)・(1/6)・1/(z-3i)=(i/6)・1/(z-3i)

「-1/i=i」はわかりませんか?

No.2です。

ANo.2の補足の質問の回答

>g(z)=-1/(z+3i)から
g(z)=-1/(2a)+(z-a)/(4a^2)-(z-a)^2/(8a^3)+(z-a)^3/(16a^4)-(z-a)^4/(32a^5)+...
と書いてますがこれはマクローリン展開の1/(1-x)を使って導出したのでしょうか?もう少し詳しくお願い致します

ANo.2に
「g(z)=-1/(z+3i)
の z=a=3iにおけるテーラー展開を求めます。」
と書いてあるでしょう。

この問題では「マクローリン展開の1/(1-x)を使って導出」する必要性はありません。
無理にそうしても、計算がさらに煩雑になるだけです。

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Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
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回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
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本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
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Q複素解析 留数って何ですか?

こんばんは、大学2年生です。現在、複素解析を授業でやっているのですが留数って何ですか?授業中に

f(z)=e二乗/(z-1)(z-2) (z=2)について証明しろと問題が
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アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

留数とは
Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  …(1)

の積分によって求められる値が留数だ!ってまず覚えてください。
この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

(z=2)は特異点ですよね?
ローラン展開しないとf(z)は分母が0になっちゃいますよね?
それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも1位の極です。
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f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。


Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
に極、f式を代入して簡単に求められます。


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