h(t)=0(t<0),h(0)=0.5,h(t)=1(0<t),
H0(f)=∫dt・exp(-i・2・π・f・t)・h(t),
H1(s)=∫dt・exp(-s・t)・h(t),
としたとき
H1(s)=1/sだからH0(f)=1/(i・2・π・f)としている岩波本がありましたがそうすると
δ(f)
=∫dt・exp(-i・2・π・f・t)
=∫dt・exp(-i・2・π・f・t)・(h(t)+h(-t))
=∫dt・(exp(-i・2・π・f・t)+exp(i・2・π・f・t))・h(t)
=H0(f)+H0(-f)=1/(i・2・π・f)-1/(i・2・π・f)
=0

そこで質問します
(1)H0(f)=1/(i・2・π・f)ですか?
そうでなければ
(2)H0(f)はどのような式で表現できますか?

「1はhが2個分」だからフーリエ変換でいえば「δはH0が2個分」だから
H0(f)=δ(f)/2というわけにはいかないんでしょうね

このQ&Aに関連する最新のQ&A

1th」に関するQ&A: 1th anniversary ってあり??

exp 意味」に関するQ&A: expの意味

A 回答 (3件)

超関数ってのは、躓くとやっかいなもんですね。



h(t)はヘビサイド関数、
すなわち
h(t)=∫dsδ(s) (s=-∞~t)
であり、
> H0(f)=∫dt・exp(-i・2・π・f・t)・h(t)
はそのフーリエ変換で、積分は-∞~∞の定積分ですね。
符号関数sgn(x) を
sgn(x) = if x>0 then 1 elseif x<0 then -1 else 0.
としますと
h(t) = 1/2(1+sgn(x))
です。1のフーリエ変換はδ(f), sgn(x)のフーリエ変換は1/(πi f)であり、
H0(f) = (1/2)δ(f) + 1/(2πi f)
となります。0でのわり算は通常の意味では定義されないことに注意すれば、この右辺は、f≠0の時には第1項(1/2)δ(f) はいつも0です。逆にf=0なら第2項 1/(2πi f)は通常の関数としては定義されません。ですから f≠0であれば至る所、通常の関数1/(2πi f) と一致する。つまり
∀f(f≠0→H0(f) = 1/(2πi f) )
というのなら文句はありません。これをf=0の場合にまで拡張したとき、話がおかしくなる。
H0(f)は何かおとなしい関数と積を作って積分したときだけ意味をもつ積分核、或いは演算子、要するに超関数そのものであることがここに現れています。

かくて、
> δ(f)
> =∫dt・exp(-i・2・π・f・t)
> =∫dt・exp(-i・2・π・f・t)・(h(t)+h(-t))
> =∫dt・(exp(-i・2・π・f・t)+exp(i・2・π・f・t))・h(t)
=H0(f)+H0(-f)
ここまではオッケーですが、以下は(f≠0)のときにだけ成り立つことに注意が必要です。

> =1/(i・2・π・f)-1/(i・2・π・f)
> =0 

つまり、この計算は
∀f (f≠0 → δ(f)= 0 )
を示している訳で、これ自体なんら問題ありません。
    • good
    • 0

しつこくstomachmanです。


難しい理屈はさておいて、いささか乱暴でも実用一点張りでやるにはどうするか。stomachman流の秘技をば開陳してしまいましょう。

δ関数を、無限小φ>0を使って
δ(x) = if |x|<φ then 1/(2φ) else 0
と定義してみる。こうしておけば、∫δ(x)dxは積分範囲の端が{x| x<|φ|}に入らない限り0か1です。
同様にして(1/x)は無限小ε>0を使って
f(x) = if |x|<ε then 0 else 1/x
と考えれば良い。こうしておけば、∫f(x) dx は積分範囲の端が{x| x<|ε|}に入らない限り∫(1/x)dx と一致しています。 (then の部分は0でなくても、有限値なら実はなんでも構わないのです。しかし無限大であっては困る。ここではf(x)が奇関数になるように、0を選びました。)
これらを使ってδ(x)/2+1/(2πix)を超関数として再定義した物は、
δ(x)/2+f(x)/(2πi )
です。この手だと、if...の条件の境目は具体的な無限小値ε,φで切り取られていて、扱いが簡単なんです。

こいつの逆フーリエ変換F(t)を計算してみましょう。
計算上注意すべき点は、
・F(0)とF(t)(t≠0)とを別々に計算する。
・無限小でないa(a≠0)について、∫(sin(ax)/a) dx (x=0~∞) = (π/2)sgn(a) であることを用いて、
∫(sin(ax)/x) dx (x=ε~∞)
 =∫(sin(ax)/x) dx (x=0~∞) - ∫(sin(ax)/x) dx (x=0~ε)
 =(π/2)sgn(a)- a∫(sin(ax)/(ax)) dx (x=0~ε)
 =(π/2)sgn(a)- a∫sinc(ax) dx (x=0~ε)
第二項は無限小(aε)であり、従って
 =(π/2)sgn(a)
である。
・(1/φ)∫cos(x)dx (x=0~φ)=1である。

やってみましょう。
逆フーリエ変換するには、xの符号を逆にしてからフーリエ変換するんでした。
まずF(0)です。t=0のときf(x)exp(-2πitx)=f(x)であり、f(x)は奇関数だから積分はゼロ。従って、
F(0) = 1/(4φ)∫dx (x=-φ~φ) = 1/2

t≠0の場合、δ(x)は偶関数、f(x)は奇関数ですから
F(t) = 1/(2φ)∫cos(2πxt)dx (x=0~φ) -2∫isin(-2πxt)/(2πix) dx (x=ε~∞)
= 1/2 +(1/π)∫(sin(2πxt)/x) dx (x=ε~∞)
= 1/2 +(1/π)(π/2)sgn(2πt)
= 1/2 +(1/2)sgn(t)

従って
F(t) = if t<0 then 0 elseif t=0 then 1/2 else 1

ここで二つの無限小φとεの大小関係が問題にならないことにお気づきかと思います。δ(x)とf(x)がそれぞれ項別に積分できてしまうからです。だから
> δ(f)と1/fを比べるとf=0付近で1/fがδ(f)より大きすぎる
という事は(どういう意味であれ)関係ないんですね。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

1/xを積分するのはやはり大変ですね
δ(x)と違っておとなしい関数でないですからね
1/xの場合積分は主値積分として扱わないといけないんですね
しかし逆フーリエ変換で元のヘビサイド関数に戻ることを確認できたので質問の最初の回答はより実感がもてました
多少の書き間違いは愛嬌として受け取りました
どうもありがとうございました

お礼日時:2002/01/16 03:42

どうもご納得戴けないようです。

何がいかんのかな?
●まず
(∂/∂x)sgn(x) = 2δ(x)
を示しておきましょう。
F(x)をおとなしい関数とします。(「おとなしい」の詳しい定義はさておき、)するてえと
∫(∂/∂x)sgn(x) F(x) dx (x=-∞~∞)
=-∫sgn(x) F'(x) dx (x=-∞~∞)
=∫F'(x) dx (x=-∞~0) - ∫ F'(x) dx (x=0~∞)
=2F(0)
て訳です。

●そして、f(x)のフーリエ変換がF(f)であるとき、(∂/∂x)f(x) のフーリエ変換は2πif F(f)
である。ゆえに、sgn(x)のフーリエ変換をS(f)とするとき、2δ(x)のフーリエ変換は2πif S(f)でなくてはならない。形式的には
2πif S(f) = 2
より
S(f) = 1/(πif )
となります。しかし、通常の意味ではsgn(x)はフーリエ積分が収束しない。つまりS(f) は超関数であることに注意すべきです。

●定数倍を無視すれば、Sってのは要するに逆数関数
f(x)=1/x
ですが、これはx=0において何が起こるかをきちんと定義しないと超関数として扱うことはできません。単に「x≠0において普通の関数1/xと一致する超関数f(x)」と言ってしまうと、任意の定数Cについて(f(x)+Cδ(x))もまた、そのような性質を持つ超関数です。
 ここでf(x)が奇関数であることを要求すると、C=0に決まる。つまり「f(x)はxf(x)=1を満たす奇の超関数と定義する」と言って初めて、「x≠0において普通の関数1/xと一致する超関数のうち、唯一の奇超関数であるf(x)」が決まったことになります。
 この手続きをしないで単に「S(f) はf≠0において1/(πif )と一致する超関数」と考えると、S(-x) のフーリエ変換はsgn(f)にはならず、sgn(x)+Cになる。任意定数Cを含んでしまいます。

●ご質問のヘビサイド関数h(t)はまさにその形、
h(t)=sgn(t)/2+1/2
をしています。ですからそのフーリエ変換は、S(f)を「f≠0において1/(πif )と一致する奇超関数」とするとき
H0(f)=S(f)/2+δ(f)/2
と書ける。
くどいようですが、これをもし「S(f) はf≠0において1/(πif )と一致する適当な超関数」と考えると、
H0(f)=S(f)/2+Cδ(f) (Cは任意定数)
となります。

●要するに、超関数を(他のおとなしい関数との積の積分という形ではなく)直に扱おうとする場合には、出てくる関数(特に特異点を持つ関数)をみんな超関数と読み替え、矛盾のないように定義しなおしてやる必要があるんです。別のご質問で仰ってる「ふるい法」の手続きですね。(で、これで全てすんなり行くかというと、実はそうでもない。例えば1/|x|なんてのは、どうしても任意定数を含んだ形でしか定義できないやっかいな超関数です。)

下記URLはnuubouさんには物足りないかもしれませんが、多少ともご参考になるやも。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32716
    • good
    • 0
この回答へのお礼

たびたびどうもどうも
最初の回答に補足出すつもりだったのですが他の問題に気を取られているうちに
ページがめくれ忘れていました
最初の回答の補足として
δ(f)と1/fを比べるとf=0付近で1/fがδ(f)より大きすぎるので
δ(f)の効果が吸収されるのではないかということでした
しかし今度の回答で多少分かったような気がします
どうもありがとうございました

お礼日時:2002/01/13 11:30

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q数IIIの積分法なんですが問題を見て置換積分と部分積分どちらを使って計算す

数IIIの積分法なんですが問題を見て置換積分と部分積分どちらを使って計算するか分からなくなったらとりあえず置換積分の方法でといてみてとけなかったら部分積分でといてみるという解き方でもいいでしょうか?ほとんどは置換積分法で解けますか?

Aベストアンサー

前回質問から少し変わりましたけど、締め切らずに同様の質問をすると二重投稿と判定されることがあります。
もしも二重投稿と判定されたら、最初の質問が強制締め切りになります。
そのとき、ダメージを受けたり気分を害されたりするのは質問者でしょうか?回答者でしょうか?

では本題。

>>>問題を見て置換積分と部分積分どちらを使って計算するか分からなくなったらとりあえず置換積分の方法でといてみてとけなかったら部分積分でといてみるという解き方でもいいでしょうか?

あなたの自由です。
戦略としてどちらが優れていてどちらが劣っているかは、ケースバイケース。
式を見てどう判断するかのコツは、すでに前回で回答しています。

>>>ほとんどは置換積分法で解けますか?

まさか。
置換積分を習ったばかりのタイミングでの小テストぐらいではないでしょうか。

Q数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む

Q瞬間部分積分に使われるている定理

よろしくお願いします。
今日、瞬間部分積分を習ったのですが、そのときにこれは
大学一年生の時に学ぶものを一部かいつまんだものだよと
いう話がありました。
そこで質問なのですが瞬間部分積分はなんという定理をもとに
しているものなのでしょうか?ご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> f・g の積分は f・g*-f'・g**+f''・g*** みたいになるやつです

なりません。

(f・g* - f'・g** + f''・g***) ' = f・g + f'''・g*** ≠ f・g
であることは、自分で確認できますね?
右辺の最後に出てくる f'''・g*** の項を打ち消すためには、
左辺に更にもう一項 - f'''・g**** を付け加えざるを得ず、その結果、
また余計な項 - f''''・g**** が生じてしまいます。
この連鎖には、終わりがありません。

これを際限なく続けると、
∫f・g = Σ[k=0→∞] (-1)^k (f に k 回 ') (g に k+1 回 *)
という級数展開を生じますが、右辺の Σ は収束するのか?とか、
いろいろ問題があります。
この辺の問題点を整理して、公式の細部を詰めるには、確かに
大学で教わる数学が必要になるでしょう。
そこまでして完成する価値のある公式かどうかは、甚だ疑問ですが。

f が多項式の場合には、k が大きくなると (f に k 回 ') が 0 になって、
Σ は有限項の和になりますから、ゴタゴタは避けられます。
が、f が多項式の場合に限った話です。

ところで、「整式で表される関数」と「整関数」は、全く別のものですよ。

> f・g の積分は f・g*-f'・g**+f''・g*** みたいになるやつです

なりません。

(f・g* - f'・g** + f''・g***) ' = f・g + f'''・g*** ≠ f・g
であることは、自分で確認できますね?
右辺の最後に出てくる f'''・g*** の項を打ち消すためには、
左辺に更にもう一項 - f'''・g**** を付け加えざるを得ず、その結果、
また余計な項 - f''''・g**** が生じてしまいます。
この連鎖には、終わりがありません。

これを際限なく続けると、
∫f・g = Σ[k=0→∞] (-1)^k (f に k 回 ') (g に k+1 回...続きを読む

Qf(x)=2x^2+1+∫(1→0){xf(t)dt}を満たす関数f(

f(x)=2x^2+1+∫(1→0){xf(t)dt}を満たす関数f(x)を求めよ。という問題です。


∫(1→0){xf(t)dt}をx∫(1→0){f(t)dt}に変形


x∫(1→0){f(t)dt}=aとおく


f(x)=2x^2+1+ax


a=∫(1→0){2t^2+1+at}dt

=[2/3t^3+t+a/2t^2](1→0)

=2/3+1+a/2


2/3+1+a/2=a

a=10/3


f(x)=2x^2+10/3x+1


これで合っているでしょうか?

いまいち自信がありません…

書き方がわかりにくくてすみません。

また、他の解き方があったら教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

いわゆる積分方程式ですね。細かい点を除いてあっています。

>x∫(1→0){f(t)dt}=aとおく

∫(1→0){f(t)dt}=aとおく
のまちがい

Q数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題と

数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず置換積分できるか調べましょう.このためには被積分関数を二つの関数の積と考え,一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます.すなわち,被積分関数を f(x)g(x) と表したとき,G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば
∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
です.例えば
(log 2x)/(x log x^2) = h(log x){log x}'
h(u) = (u + log 2) / 2 u = 1/2 + (log 2)/2u
だから
∫(log 2x)/(x log x^2)dx = (1/2){log x + (log 2)log(log x)} + C
となります.
置換積分がダメそうなら部分積分できるか調べましょう.概してこちらの方が調べるのが面倒です(とくに漸化式を使う場合).

Qlim[n→∞]∫[0~1]f_n(x)dx=∫[0~1]f(x)dxが示せません

宜しくお願いいたしました。

[問]各n∈Nに対し,f_n(x)=nx/(1+nx),x∈[0,1]とする。
数列{f_n}は[0,1]で積分可能関数fには各点収束するが一様収束しない事を示せ。
そしてlim[n→∞]∫[0~1]f_n(x)dx=∫[0~1]f(x)dxとなる事を示せ。

で「lim[n→∞]∫[0~1]f_n(x)dx=∫[0~1]f(x)dxとなる」が示せずに困っています。

f(x)=
1/e (x=1の時)
1 (0<x<1の時)
0 (x=0の時)

と積分可能関数fが求めました。

でも
0<x<1の時
lim[n→∞]∫[0~1](f(x)-f_n(x))
=lim[n→∞]∫[0~1](1-nx/(1+nx))dx
=lim[n→∞]∫[0~1](1/(1+nx))dx
=lim[n→∞][-n/(1+nx)^2]^1_0
=lim[n→∞](-n/(1+n^2)+n)

となり0になりません。何か勘違いしておりますでしょうか?

Aベストアンサー

> lim[n→∞]∫[0~1](f(x)-f_n(x))
> ・・・
> =lim[n→∞]∫[0~1](1/(1+nx))dx
> =lim[n→∞][-n/(1+nx)^2]^1_0

∫[0~1](1/(1+nx))dx = [-n/(1+nx)^2]^1_0 ですか?勘違いでしょう。
(1/n) log(1+nx)

Q部分積分、置換積分

積分の問題がでたとき、部分積分で解くのか置換積分で解くのか区別ができません。何か区別の仕方とかあるのでしょうか。教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは。

「部分積分法」は「積の微分法」の逆で、
「置換積分法」は「合成関数の微分法」の逆というのは分かりますよね。

と言う事で、「積分」をするときはいつも頭の中で「微分」しながらやると
良いでしょう。検算にもなります。

「置換積分」と「部分積分」の見分け方のアドバイスは私にはできないので、
推薦図書を2つあげておきます。参考になればよいのですが。

たくさん問題を解いて(やっぱりこれは大前提です)、解く問題が無くなってきたら、
難しめのものに挑戦しましょう。次の2つを通り抜けられたらとりあえず積分計算に
関しては大丈夫と思って下さい。

・解法の探求II(東京出版)の原則編「積分(1)」
・微積分/基礎の極意(東京出版)の第一部「計算力のチェック」

置換積分と部分積分の重要問題が集められています。
これらは数学苦手気味の方には難しいと思います。他の参考書が良いでしょう。
難関大学を目指されるのであれば、上のどちらかを手にとってみることを
お勧めします。受験会場で、どちらかを開いている人が結構いるはずです。頑張って下さい。

こんにちは。

「部分積分法」は「積の微分法」の逆で、
「置換積分法」は「合成関数の微分法」の逆というのは分かりますよね。

と言う事で、「積分」をするときはいつも頭の中で「微分」しながらやると
良いでしょう。検算にもなります。

「置換積分」と「部分積分」の見分け方のアドバイスは私にはできないので、
推薦図書を2つあげておきます。参考になればよいのですが。

たくさん問題を解いて(やっぱりこれは大前提です)、解く問題が無くなってきたら、
難しめのものに挑戦しましょう。次...続きを読む

Q「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」

「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,
∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」
の真偽判定問題です。

偽となる反例として
f(x)が底辺が1/n^2の二等辺三角形の側辺を辿るような
ジグザクの折れ線のグラフ(この時lim[x→∞]f(x)は振動)なら
全二等辺三角形の総和はΣ[n=1..∞]1/2n^2で収束と思ったのですがこれはx>0で正値をとる事に
反してしまいます。
やはり,この命題は真となるのでしょうか?

Aベストアンサー

過去に同じ質問がありました。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3653990.html

Q置換、部分積分の証明です。

数学IIIの置換積分、部分積分の証明の仕方が知りたいです。何かいい本をご存知の方いらっしゃいませんか?教科書にはまったく載っていないので。

Aベストアンサー

>教科書にはまったく載っていない
 そんなはずはない。どんな教科書でも(問題集は別ですよ)、公式だけかかげて、理由はいわないからこれを覚えろなどとは、いっていないはずです。そんな本があったとしても、国の検定にパスしないから、高校で使われることはありません。
 もし、あなたがそう感じるなら、見落としです。置換積分、部分積分がはじめて出てきたページをみてごらんなさい。ただ、あまりにも当たり前すぎることだから、軽く書いてあるでしょうから、それが証明になっていることに、あなたが気づいていないだけです。
 本当に、説明が何も無いなら、その教科書の書名と出版社を教えてください。

Qfが[-π,π]で偶関数の時,fのフーリエ級数はf~a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)

こんにちは。下記の問題でつまづいてます。

[問] f∈R[-π,π](R[π,-π]は[π,-π]でリーマン積分可能な関数の集合)とする。
(1) もし,fが[-π,π]で偶関数の時,fのフーリエ級数は
f~a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx,n=1,2,…)
(2) もし,fが[-π,π]で奇関数の時,fのフーリエ級数は
f~Σ[n=1..∞]b_nsin(nx) (但し,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx,n=1,2,…)

[解]
f(x)はf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞](a_ncos(nx)+b_ksin(kx))と表せ。
b_k=1/π∫[-π..π]f(x)sin(kx)dx=1/π∫[-π..π]f(-x)sindx
偶関数の定義からf(x)=f(-x)を使って,
このb_kの値が0となる事を言いたいのですがこれからどのように変形できますでしょうか?

Aベストアンサー

  g(x) = f(x)*sin(x)
と置くと、
f(x)=f(-x)ならば、
  g(x) = f(x)*sin(x) = -f(-x)*sin(-x) = -g(-x)
すなわち、fが偶関数ならばgは奇関数。
よって
  ∫[-π,π]{g(x)} = 0


人気Q&Aランキング

おすすめ情報