外積の大きさは、2つのベクトルのつくる平行四辺形の面積で定義する、と習ったのですが、なぜ、そのように定義するのですか? 歴史的な事情をご存知の方、ぜひ教えてください(指が十本あるから十進法、みたいな謂れが知りたいのです)

A 回答 (2件)

私は数学の授業をよくさぼっているのであまり詳しくないのですが、確か内積や外積というのはmotsuanさんの言うとおり線型性が成り立つようにハミルトンさんが定義しているはずだ。

垂直なベクトルとか平行四辺形というのはその成果でしかない(はず)。
おそらく、平行四辺形の面積で定義するとしたほうが後戻りしなくてよく、本がまとめやすいといったところでないか。その着想に至った経緯が複雑なので理論と関係なかったから省いたとか。

以上!
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全然歴史的経緯ではありません(途中で気がつきました)。

ごめんなさい。

たとえば
(1,0,0)×(1,0,0)=(0,0,0)
(1,0,0)×(0,1,0)=-((0,1,0)×(1,0,0))=(0,0,1)
を決めてあとは座標取り方を変えても変わらないのと
線型性をもつようにしたら
平行四辺形の面積になったのではないでしょうか?
たとえば
(w,0,0)×(a,h,0)=(w,0,0)×(0,h,0)=(0,0,wh)
となって、底辺かける高さの式になってしまう
という事実とあとは座標の取り方を変えても同じで
線型性があるためにどんな場合でも
平行四辺形の面積になってしまうということでは?

シンプルな性質とてしては
ベクトルa,bの積として
a×b=-(b×a):置換に対して反対称性で
a,b双方の位置にくるベクトルに対して線型性
があるとするんでしょうね
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Q地図:バスのルート検索

googleでもyahooでも何でもいいのですが、地図検索でルートを調べたいのですが、電車ではルート検索できるのですが、バスのルート検索できません。

バスのルート検索ができるサイトとそのやり方を教えてください。

回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

直接、乗車バス停から降車バス停の時刻を調べることはできませんが、
私が愛用させていただいた、
『旅に出たくなるページ』内の『旅に出たくなる路線図』さんが昨年の12月31日をもって閉鎖されてしまいました。これが最高だったので残念です。
しかし、リンク集は残されていますので検索してみる価値は十分有ると思います。
http://ryokou.gozaru.jp/index.html

『時刻表はココから』さんには、各バス会社のホームページや、地域によっては、その地域全体を調べられるものも記載されています。
http://homepage2.nifty.com/fuguta/time/i/i-menu.html

『NAVITIME』さんは、全国の各バス停の発車時刻を調べることができますが、掲載されていないバス停が多々有ります。
http://www.navitime.co.jp/bus/

地域別では、
・関東地方 『バスサービスマップ』さん(路線図の検索)
http://www.geocities.jp/busservicemap/
・東海地方 『路線図ドットコム』さん(路線図の検索)
http://www.rosenzu.com/
・九州地方 『九州のバス時刻表』さん(停留所名で九州のほとんどのバスが検索できます)
http://qbus.jp/time/
などがあります。

miya_HN さんがどの地域をお探しかわかりませんが、手間がかかっても良ければ、各都道府県のバス協会等の大まかなバス路線図は存在すると思いますので、そこでバス会社を調べて、そのバス会社のホームページがあればそれを参照してみてはいかがでしょうか。

直接、乗車バス停から降車バス停の時刻を調べることはできませんが、
私が愛用させていただいた、
『旅に出たくなるページ』内の『旅に出たくなる路線図』さんが昨年の12月31日をもって閉鎖されてしまいました。これが最高だったので残念です。
しかし、リンク集は残されていますので検索してみる価値は十分有ると思います。
http://ryokou.gozaru.jp/index.html

『時刻表はココから』さんには、各バス会社のホームページや、地域によっては、その地域全体を調べられるものも記載されています。
http://homepage2...続きを読む

Q行列の積、どうしてそのように定義するの?

簡単のために2X2行列を考えます。

A=( a b )
  ( c d ) ,
B=( p q )
  ( r s ) とすると, 

AB = ( a b )( p q )
     ( c d ) ( r s )
= ( ap+br aq+bs )
  ( cp+dr cq+ds )

と積が定義されますが、なんの理由、なんの目的があってそのような定義がされるのでしょうか?

Aベストアンサー

R上のベクトル空間V_1からベクトル空間V_2への写像であって,
T(ax+by)=aT(x)+bT(y) (x,y∈T、a,b∈R)
となるTが線型写像でした.(便宜上R上としましたが、C上と読み替えても問題ありません)

この線型写像Tがどんな写像であるかは、Tを見れば分かる事なので、「行列」というものがなくても数学的には何も困りません。(つまり、行列の言葉で書かれている定理は基本的に線型写像の言葉で書ける)

しかし、線型写像を扱うのは人なので、「分かりにくい(イメージしにくい)抽象的なもの」よりは、「分かりやすい(イメージしやすい)具体的なもの」の方がうれしいですよね。

ベクトルという抽象的なものを、(ある基底を選んで)「座標」という具体的なもの(n=dimV個の実数を並べたものなので、具体的)で表現したように、
線型写像という抽象的なものを、(ある基底を選んで)具体的に表現したものが、所謂、「行列」です。
V_1(dimV_1=n)からV_2(dimV_2=m)への線型写像Tを表現する「行列(=nm個の実数の組)」をρ(T)ととおいておきます。(従って,ρは線型写像から「行列」への写像です)


一般に、XからYへの写像全体をFとした時、YがR上のベクトル空間であれば、f,g∈F,c∈Rに対して、
f+g:x∈X→f(x)+g(x)∈Y
cf:x∈X→cf(x)
と定義する事によって、自然にFをベクトル空間とみなす事ができます。

従って、V_1からV_2への線型写像全体は、ベクトル空間となせます。

であるから、T,SをV_1からV_2への線型写像,cを実数とした時、ρ(T+S)やρ(cT)という「行列」が定義されていることになります。そこで、この線型写像の和とスカラー倍の構造が、そのまま「行列」の和とスカラー倍になるように、「行列」の和とスカラー倍を定義します。つまり、
ρ(T)+ρ(S):=ρ(T+S)
cρ(T):=ρ(cT)
のように、「行列」の和とスカラー倍を定義します。

また、TをV1からV2への線型写像,SをV2からV3への線型写像とした時に、
S・T:x∈V1→S(T(x))∈V3
というV1からV3への線型写像を考える事ができます(写像の合成).

すると、ρ(S・T)という「行列」を考える事ができます。そこで、「行列の積」を
ρ(S)ρ(T):=ρ(S・T)
と定義する事にします。

という訳で、

>なんの理由、なんの目的があってそのような定義がされるのでしょうか?
上のように定義することによって、
線型写像の和とスカラー倍と合成が、簡単に・具体的に計算できるからです。
つまり、線型写像の和とスカラー倍と合成が、上の定義から、
行列の和:成分ごとの足し算
行列のスカラー倍:各成分のスカラー倍
行列の積:普段使っている「行列の掛け算」
という簡単に・具体的に計算ができるものになるからです。(n×mの長方形上に並べるnm個の実数を並べるのは、行列の積が分かりやすくなるからだと思います)

>しかし、行列とベクトルの積(BxやAyなど)も帳尻があうというのが腑に落ちません。

話が逆です。

行列の積が、「行列とベクトルの積」に一致するように「行列の積」を定義したのではなく、

ベクトルの座標を縦ベクトルで表現しておくと、
「行列とベクトルの積」の計算方法と、(縦ベクトルを自然にn行1列の行列とみなした時の)行列の積と計算方法が全く同じものになります。
だから、ベクトルの座標を縦ベクトルで書いているに過ぎません。(そうすれば分かりやすいから、そう書いているに過ぎません)

R上のベクトル空間V_1からベクトル空間V_2への写像であって,
T(ax+by)=aT(x)+bT(y) (x,y∈T、a,b∈R)
となるTが線型写像でした.(便宜上R上としましたが、C上と読み替えても問題ありません)

この線型写像Tがどんな写像であるかは、Tを見れば分かる事なので、「行列」というものがなくても数学的には何も困りません。(つまり、行列の言葉で書かれている定理は基本的に線型写像の言葉で書ける)

しかし、線型写像を扱うのは人なので、「分かりにくい(イメージしにくい)抽象的なもの」よりは、「分かりやすい(イ...続きを読む

Q■地図ナビルート検索について!

■地図ナビルート検索について!
自宅のパソコンでルート検索できるソフトやサイトはありますか?
出来れば無料の物が良いのですが・・・? 有料でもOKです。

目的地と到着地を設定してルート検索ができるようなものを教えてください。
その他関連するご回答があればお願いいたします。m(_ _)m

Aベストアンサー

自動車であれば、
ルート検索‐NAVITIME
http://www.navitime.co.jp/drive/

電車であれば、
まるごとナビ|駅探
http://navi.ekitan.com/ppnavi/

などいかがですか。

Q中学生2年生で習う。平行四辺形の面積の問題。

平行四辺形ABCDで辺AB、BCの中点をそれぞれM,Nとする。三角形DMNの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍か。

Aベストアンサー

平行四辺形ABCD = △DMN + △AMD + △MBN + △CND,
△AMD = (1/2)△ABD, △ABD = (1/2)平行四辺形ABCD,
△CND = (1/2)△CBD, △CBD = (1/2)平行四辺形ABCD,
△MBN = (1/4)△ABC, △ABC = (1/2)平行四辺形ABCD,

以上を使って、△DMN = (3/8)平行四辺形ABCD.
A No.2 のほうが、合っている。

Qgoogle mapでのルート検索を良く利用していますが、一つ困ってい

google mapでのルート検索を良く利用していますが、一つ困っている事があります。

google mapが検索したルートを少しアレンジするのに白丸○で表されたポイントを
ドラッグすれば良いのですが、うまくドラッグ出来た試しがありません。

付近をぐるぐる何度も周回するようなルート地図が出来上がってしまいます。

何か途中のルートポイントを削除する方法などはあるのでしょうか?
みなさんはどのようにしてらっしゃいますか?

Aベストアンサー

補足確認しました。

(^^ゞ失礼しました言葉足らずでした。

不要なルート表示に○が有る時は○にカーソルを合わせて右クリックで、「このポイントを削除」で消せると思います。

無い場合は不要なルートを利用したいルートへドラッグで消えると思います。

>ちょっとごちゃごちゃした右左折の多いルート時なのか、時々ポイントをドラッグするとぐるぐる同じところを周回するんです。

ご指摘の様に表示してるルートと利用したいルートが近い場合はぐるぐると回る様な表示になりますね!

その様な場合は地図を拡大してルートを設定(上記の方法)を試して見て下さい、これは仕様だと思うので根気良く不要なポイント等を削除し続けて我慢するしか無いと思いますよ~?

Qベクトルを用いた平行四辺形の面積について

4点A(1,2)、B(3,-2)、C(x,y)、D(-2,0)を頂点とする四角形ABCDが平行四辺形である様に点C(x,y)の座標を求めなさい。またその平行四辺形の面積を求めなさい。

答えは出たのですがなんか綺麗じゃなくて自信がありません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

C(0,-4)  S=8になりせんでしたか?

Cは計算などせずに、座標上に書けばすぐ分かります
この際、平行四辺形がABDCとかにならないように注意してください

また、2つのベクトルからなる三角形の面積を求める際の公式は習いましたか?
S=√{|a|^2|b|^2-(a・b)^2}/2というものです
(a,bはすべてベクトルです)
平行四辺形の場合は2で割らなければよいです

Q途中を指定できるルート検索サイト

ルートMAPを使っていますが、途中ポイントを指定して使用できません。
どこか途中ポイントを1-2点指定して検索できるサイトがあれば紹介お願いします。
→全て途中ポイントを目的地にして検索し足せばよいのはわかっていますが、あっちこっちポイントを変えたいので、、
使い方
  (1)目的地と出発地は決まっているのですが、途中観光する場所が3-4個所あるのでその組み合わせをそれぞれ指定して検索したい。
(2)検索条件を入れて検索しているが、部分的に自分の知っている最短ルートになっていない。そこでルートを指定して検索したい(私の方が絶対近いと思っているが、、、?)などなど

Aベストアンサー

 参考にならない意見ですいませんが、中継点を指定できるウェブ検索は、今のところまだないと思います。
(将来的には近いうちにどっかが始めると思いますが、2006年5月現在ではまだ見ないです)

 現在ルート検索で使われている処理方式は「可能性のある全てのルートを検索し、その中から最適なものを選ぶ」という処理方式が取られていることが多いです。
 そのようなアルゴリズムである関係上、「ウェブにルート検索を載せた」こと自体、実は凄いことなんです。

 中継点付きルート検索の場合、中継点の数だけ同じ検索を繰り返すため処理が2倍3倍と増えていく関係上、かなり潤沢な資金のある会社でなければ、それほどの能力を持ったシステムは導入できないのが実情です。
 地図検索サイトを運営する多くの会社にとって、ルート検索は一般に「おまけ機能」であることが多く、資金を裂けないわけです。

(カーナビに搭載された検索システムは、あなたが個人的に使うからこそ中継点指定ができるんです。
 ウェブ検索では何人もの人間が同時に使うのですから、みんなでサーバーの処理能力を譲り合わなければいけません。「みんなで分け合ってもなお余裕のあるシステム」となると、それなりに処理能力が求められるっちゅーわけです)

 参考にならない意見ですいませんが、中継点を指定できるウェブ検索は、今のところまだないと思います。
(将来的には近いうちにどっかが始めると思いますが、2006年5月現在ではまだ見ないです)

 現在ルート検索で使われている処理方式は「可能性のある全てのルートを検索し、その中から最適なものを選ぶ」という処理方式が取られていることが多いです。
 そのようなアルゴリズムである関係上、「ウェブにルート検索を載せた」こと自体、実は凄いことなんです。

 中継点付きルート検索の場合、...続きを読む

Q面積/平面ベクトルの内積

曲線または直線で囲まれた面積を求めよ。

(1)y=x^2-5x+9 , y=3x+2

(2)y=x^2-x+1 、y=2x^2-3x+1

つぎのa→,b→のなす角θを求めよ

(3)a→(-1,1)、b→(2,0)

この3題をやったのですが、よくわかりません。
この解法と答えを教えてください。

Aベストアンサー

(1)交点を求めます。
 x^2-5x+9=3x+2
x^2-8x+7=0
(x-1)(x-7)=0
x=1,7
面積を積分で求めます。(上の関数)-(下の関数)の積分で面積。(教科書を確認してください)
 ∫[1,7]{(3x+2)-(x^2-5x+9)}dx=[-(1/3)x^3+4x^2-7x][1,7]
=-(1/3)*7^3-4*7^2-7*7-(-1/3+4-7)=36
 
 ※[1,7]とは下文字が1で上文字が7という意味です。

(2)交点を求めます。
 x^2-x+1=2x^2-3x+1
x^2-2x=0
x(x-2)=0
x=0,2
面積を求めます。
 ([0,2]区間でどちらの関数が上にあるか調べるため、例えばx=1を代入してyの値を比較すると前者の 関数のほうがyの値が大きいことがわかる。)
 ∫[0,2]{(x^2-x+1)-(2x^2-3x+1)}dx=[-(1/3)x^3+x^2][0,2]=-(1/3)*2^3+2^2=4/3

(3)以下、ベクトル記号は省略します。公式は教科書を確認してください。
 内積の公式a・b=|a||b|cosθ
 内積の成分表示a・b=x1*x2+y1*y2
 ベクトルの大きさ|a|=√(x1^2+y1^2)

 これらを使います。
 (-1)*2+1*0=√2*2cosθ
  cosθ=-1/√2
 θ=135° よってなす角は135°

計算は自分で確認してください。
何かあったら補足してください。

(1)交点を求めます。
 x^2-5x+9=3x+2
x^2-8x+7=0
(x-1)(x-7)=0
x=1,7
面積を積分で求めます。(上の関数)-(下の関数)の積分で面積。(教科書を確認してください)
 ∫[1,7]{(3x+2)-(x^2-5x+9)}dx=[-(1/3)x^3+4x^2-7x][1,7]
=-(1/3)*7^3-4*7^2-7*7-(-1/3+4-7)=36
 
 ※[1,7]とは下文字が1で上文字が7という意味です。

(2)交点を求めます。
 x^2-x+1=2x^2-3x+1
x^2-2x=0
x(x-2)=0
x=0,2
面積を求めます。
 ([0,2]区間でどちらの関数が上にあるか調べるため、例えばx=1を代入してyの値を...続きを読む

Q・カーナビのようにルート検索ができるサイト

・カーナビのようにルート検索ができるサイト

自宅のパソコンで出発地と目的地を入力してルート検索、距離、所要時間などがわかるカーナビのようなサイトを探しているのですが知っている方いませんでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

マップファンを使っています。

http://www.mapfan.com/

『ルート検索』で多分ご希望どうりのものが出来ると思います。
ラリーマップは便利で楽しいですよ(笑)

Q平行四辺形の面積比の問題が解けません...!

ステップ3ぐらいまでは理解したのですが、ステップ4で平行四辺形ABCDの面積をTとしてなぜs1を1/2Tとするのですか??

宜しければ分かりやすく教え てください(ノ;・ω・)ノ朝からずっと気になってるんです...

Aベストアンサー

字と絵が小さすぎて、読めません。


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