外積の大きさは、2つのベクトルのつくる平行四辺形の面積で定義する、と習ったのですが、なぜ、そのように定義するのですか? 歴史的な事情をご存知の方、ぜひ教えてください(指が十本あるから十進法、みたいな謂れが知りたいのです)

A 回答 (2件)

私は数学の授業をよくさぼっているのであまり詳しくないのですが、確か内積や外積というのはmotsuanさんの言うとおり線型性が成り立つようにハミルトンさんが定義しているはずだ。

垂直なベクトルとか平行四辺形というのはその成果でしかない(はず)。
おそらく、平行四辺形の面積で定義するとしたほうが後戻りしなくてよく、本がまとめやすいといったところでないか。その着想に至った経緯が複雑なので理論と関係なかったから省いたとか。

以上!
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全然歴史的経緯ではありません(途中で気がつきました)。

ごめんなさい。

たとえば
(1,0,0)×(1,0,0)=(0,0,0)
(1,0,0)×(0,1,0)=-((0,1,0)×(1,0,0))=(0,0,1)
を決めてあとは座標取り方を変えても変わらないのと
線型性をもつようにしたら
平行四辺形の面積になったのではないでしょうか?
たとえば
(w,0,0)×(a,h,0)=(w,0,0)×(0,h,0)=(0,0,wh)
となって、底辺かける高さの式になってしまう
という事実とあとは座標の取り方を変えても同じで
線型性があるためにどんな場合でも
平行四辺形の面積になってしまうということでは?

シンプルな性質とてしては
ベクトルa,bの積として
a×b=-(b×a):置換に対して反対称性で
a,b双方の位置にくるベクトルに対して線型性
があるとするんでしょうね
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