範囲を求める問題

x-2,x,x＋2が鈍角三角形の３辺の長さとなるようなxの値の範囲を求める問題で、

三角形の三辺の長さの関係から
x>0,(x-2)＋x>x＋2
x>4

三角形でx＋2の辺に対応する角を余弦定理を使って求められるかな？とおもって
cosθ={(x＾2)＋(x-2)＾2 -(x＋2)＾2}/(2x(x-2))
={x(x-8)}/2(x-2)

x>4より
ｘ=5を代入したら-(1/2)になりました。
しかしcosθ=-(1/2)=２４０

鈍角は90<θ<180なので合いません。

どのように求めるか分かりません。

No.6 ベストアンサー 回答者： wps_2005 回答日時： 2006/03/28 21:31

#4の補足に対して回答します。

>　　(2x(x-2))＞０
>　　はｘ＞４
>　　より例えばｘ＝５と考えて
>　　2*5*3>0
>　　だから
>　　(2x(x-2))＞０
>　　と考えていいのですか？

大きな方向性は間違ってないですが…
x=5 の１例だけを調べて、(2x(x-2))＞０ と結論づけるのは無理があります。

x>4 だから x>0
x>4 だから x-2>0
したがって 2x(x-2)>0
ということなのですが、これを読んでしっくりきますか?

この回答への補足

ありがとうございます。

補足日時：2006/03/28 22:45

No.5 回答者： take008 回答日時： 2006/03/28 00:25

一般論

3辺 ａ,ｂ,ｃ のうち ａ が一番長い辺だとします。
ｂ,ｃ を固定して，ａを変化させて考えます。
(1) a^2＝b^2+c^2 のとき，（三平方の定理より）直角三角形。
(2) ａがこれより短い（a^2<b^2+c^2）とき，鋭角三角形，
(3) ａがこれより長い（a^2>b^2+c^2）とき，鈍角三角形。
ただし，(3)の場合，長すぎるとそもそも三角形にならないので，三角形になる条件も必要。

ご質問の回答
三角形になる条件より
　x+2 < x+(x-2)
　4 < x
鈍角三角形になる条件
　(x+2)^2 > x^2+(x-2)^2
　x^2+4x+4 > x^2+x^2-4x+4
　8x > x^2
ｘは正だから，両辺をｘで割っても大小関係は同じ
　8 > x
したがって
　4 < x < 8

この回答への補足

ありがとうございます。
この覚えた方を知るとcosの余弦定理を求めるより簡単に問題が解けますね。
新たな発見をしました。
ありがとうございました。

補足日時：2006/03/28 10:13

No.4 回答者： wps_2005 回答日時： 2006/03/27 23:41

最初に、別の質問の話で申し訳ありませんが、「最小値の求めかた」の問題、自力で解けるようになって良かったですね。

さて、本問題ですが、#2の補足に書いてある、

> {(x＾2)＋(x-2)＾2 -(x＋2)＾2}＜０＊(2x(x-2))
> ＝{(x＾2)＋(x-2)＾2 -(x＋2)＾2}＜０
> ＝(x＾2)-8<0
> =x(x-8)<0
> =0<x<8
> x>4より
> xの範囲は4<x<8でしょうか？

で、考え方も、最終的な答えも合ってると思いますよ。(参考書の解答と一致しません?)

ただ、途中の記述には少々改善の余地がありそうです。
・２行目以降を「＝」でつないではいけません。
・３行目はちょっと違ってますね(単なる打ち間違い?)
・cosの式から１行目の式にするときには、両辺に2x(x-2)をかけたのだと思いますが、「2x(x-2)>0 だから」と一言書いておいたほうがいいです。(マイナスを両辺にかけると不等号の向きが逆になってしまうので、プラスであることを明示しておいた方がいいです)

この回答への補足

(2x(x-2))＞０
はｘ＞４
より例えばｘ＝５と考えて
2*5*3>0
だから
(2x(x-2))＞０
と考えていいのですか？

付け加えることを教えてくれてどうもありがとう。

補足日時：2006/03/28 07:16

No.3 回答者： take008 回答日時： 2006/03/27 15:53

勉強になりますから一般的にどうなるかやってみてください。

3辺の長さを a,b,c とすると
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc), cosB=..., cosC=...

三角形になる条件
-1<cosA<1, -1<cosB<1, -1<cosC<1
これを a,b,c で表すと
a<b+c, b<c+a, c<a+b
になります。

鋭角三角形になる条件
cosA>0, cosB>0, cosC>0
これを a,b,c で表すと
a^2<b^2+c^2, ...

直角三角形になる条件
cosA=0 または cosB=0 または cosC=0
これを a,b,c で表すと，三平方の定理

鈍角三角形になる条件(三角形になる条件の下で）
cosA<0 または cosB<0 または cosC<0
これを a,b,c で表すと ?

この回答への補足

sinθ=＋/＋＞０
cosθ=-/＋<0

ごめんなさい。
よくわかりません。

補足日時：2006/03/27 18:39

No.2 回答者： redowl 回答日時： 2006/03/27 14:41

余弦定理使ったところは、正解。

鈍角が　90°＜θ＜180°
であるから、　０＞cosθ＞－１
　　　　　　０＞{x(x-8)}/2(x-2)＞－１
をときましょう。

この回答への補足

ありがとうございます。
三角形の三辺の長さの関係から
x>0,(x-2)＋x>x＋2
x>4

三角形でx＋2の辺に対応する角を余弦定理を使って求められるかな？とおもって
cosθ={(x＾2)＋(x-2)＾2 -(x＋2)＾2}/(2x(x-2))＜０
ですね。


{(x＾2)＋(x-2)＾2 -(x＋2)＾2}＜０＊(2x(x-2))
＝{(x＾2)＋(x-2)＾2 -(x＋2)＾2}＜０
＝(x＾2)-8<0
=x(x-8)<0
=0<x<8
x>4より
xの範囲は4<x<8でしょうか？

補足日時：2006/03/27 18:28

No.1 回答者： redowl 回答日時： 2006/03/27 14:06

＞ｘ=5を代入したら-(1/2)になりました。

しかしcosθ=-(1/2)=２４０


１２０度のとき　　cos120°＝-(1/2)　　ですが・・・・
勘違いされたのかな？

この回答への補足

ごめんなさい
120でも大丈夫ですね。

でも
120度からどのように生かすか分かりません。

補足日時：2006/03/27 14:07