∇・j = 0 （量子力学）

独学で量子力学を勉強中にわからないところが出てきました．

以下 h は h bar を表すものとします．

波動関数を ψ(r,t) ，フラックスを
　j(r,t) = (h/2mi)[ψ*∇ψ - (∇ψ*)ψ]
としたとき，定常状態では
　∇・j = 0
が成り立つという記述を見て，以下のように示そうとしました．

　(h/i)∇・j
= -(h^2/2m)[ψ*(△ψ) - (△ψ*)ψ]
シュレディンガー方程式を用いると
= ψ*{ ih(∂ψ/∂t) - Vψ } - { -ih(∂ψ*/∂t) - V*ψ* }ψ
= ih( ψ*(∂ψ/∂t) + (∂ψ*/∂t)ψ ) - (V-V*)|ψ|^2

ここで第1項目は，定常状態のシュレディンガー方程式より
　ψ(r,t) = φ(r)f(t)
のように変数分離して f(t) の具体的な形を求めることで
0 になることがわかりました．
問題は第2項目なのですが，これはポテンシャルVが
実数でなければ0にならないと思います．

「定常状態　⇔　ポテンシャルは実数」
ということは言えるのでしょうか？
また，上の式変形も自信がないので
すでにおかしなことをやっているのであればご指摘ください．

No.1 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/03/27 17:40

ポテンシャルの次元はエネルギーです。

長さ：Ｌ、質量：Ｍ、時間：Sと置くと
エネルギーの次元は、[M][L][S]^-2です。
運動量の次元は、[M][L][S]^-1です。

量子力学に置き換えるとき、運動量に-ih/2πが付きますが、これを次元で追うと
[M][L][S]^-2=｛[M][L][S]^-1｝^2[M]^-1,つまり
運動量が常に二乗の形で、エネルギーの次元に含まれます。純虚数が2乗されるから、ポテンシャルは物理的には実数だと思います。計算は、自分でもやってみたら同じになりました。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます．

> 純虚数が2乗されるから、ポテンシャルは物理的には実数だと思います。
これは運動エネルギーの項ではないでしょうか？
　p^2/(2m)　→　(1/(2m)){(h/i)∇}^2
という対応により，運動エネルギーの演算子は実数になると思います．

ただ，ポテンシャルはこれとは独立なので，
一般には複素ポテンシャルもありえると思います．

お礼日時：2006/03/27 19:14