統計力学についての質問

「ミクロカノニカル分布、カノニカル分布、グランドカノニカル分布」と
「マクスウェル・ボルツマン(MB)分布、フェルミ・ディラック(FD)分布、ボース・アインシュタイン(BE)分布」の違い(？)がわかりません。
というか、この『分布』という言葉は同じ意味として受け取っていいのか？ということです。
(あるときはグランドカノニカル分布、あるときはFD分布というように同じ括りで考えていいのか？という疑問です。)

ミクロカノニカル分布：平衡における孤立系での分布
カノニカル分布：熱溜に接する系での分布
グランドカノニカル分布：さらに、粒子のやり取りがある系での分布

MD分布：下記二つの古典的極限
FD分布：フェルミオンの従う分布
BE分布：ボソンの従う分布

というような個々の定義や、ミクロカノニカル→カノニカル→グランドカノニカルの導出、FD、BE→MBの導出のそれぞれについては何とか理解できるのですが、これら二つの「分布」がどうにも結びつきません。

調べてみると、古典統計的なカノニカル分布、古典統計的なグランドカノニカル分布、量子統計的なカノニカル分布、量子統計的なグランドカノニカル分布があるようですが(１粒子状態を考慮する＝量子統計だったかと)、それでは「古典ならMB」とか「量子ならFDもしくはBE」とかいう考えは間違っているのか？などの疑問が沸きます。

細かい部分では、前者の分布は「カノニカル"集団"における分布」と表現されるのに対して、後者の分布は「フェルミ"統計"に従う粒子の分布」と表現される違いがあったりするので、同じ『分布』として捉えていいのかすら分かりません。
(例えば、熱溜に接する系でのフェルミオンの分布は、カノニカル分布かつFD分布になるというおかしな？ことになるのかなぁとか)

質問の論旨が漠然としていてスミマセン。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/04/09 13:28

まず、グランドカノニカル分布とフェルミ分布

の違いですが、グランドカノニカルの方は、あくまで
『体系』の振る舞いを与えます。総粒子数や総エネルギーが変動する状況における、体系が「ある総粒子数」
と、「その総粒子数のもとでの、各1粒子エネルギー
準位にいくつずつ粒子が分配されるか」の確率を与えるということです。そこまででグランドカノニカル
は終わりです。
そのあと、その確率を使って、
『ある1粒子エネルギーεjにいる粒子数njの平均』を求め
ます。一気に、体系がある微視的状態をとる確率から、1粒子状態の平均粒子数へと飛躍が生じているわけです。このとき、nj以外の変数
であるni,nk...は、平均をとると分母と分子で帳消しになり
<nj>=Σnj・exp[-β(εj-μ)nj]/Σexp[-β(εj-μ)nj]という
式の中に入ってきません、つまりjだけの和になります。それで、フェルミ粒子ならnjに1と0を順次代入して和をとれば、その<nj>=1/{exp[β(εj-μ)]＋1}がフェルミ分布になります。
ボーズ分布なら、0～∞までnjについて和をとったものです。つまり、どちらの分布も、「あるエネルギーの1粒子状態にいる
平均粒子数」ということであります。グランドカノニカル分布から導かれる分布ではありますが、グランドカノニカル分布とは分布の意味が異なります。

＜＜古典統計的なカノニカル分布、古典統計的なグランドカノニカル分布、量子統計的なカノニカル分布、量子統計的なグランドカノニカル分布があるようですが(１粒子状態を考慮する＝量子統計だったかと)、それでは「古典ならMB」とか「量子ならFDもしくはBE」とかいう考えは間違っているのか？

まず、マクスウェル・ボルツマン分布は分子の速度
分布のことです。もちろん、古典統計にしか使えません。さらに体系の振る舞いや、ポテンシャルエネルギーを考えるときは、古典統計ではボルツマン統計
まで考える必要があります。ボルツマン統計も、
平均の粒子数です。カノニカル分布は、体系が
ある微視的状態をとる確率だから、ボルツマン統計とは厳密には異なります。あまり区別されてませんが。
量子論的なカノニカル分布というものは、位相空間を
量子数の組が張る空間に換えるだけで、exp[-βEj]という因子は変わりません。これと、F・D統計などとの
違いは、「1粒子状態にいる粒子数」のような細かい情報は分からない、ということです。それでも、古典統計よりは厳密性を出したいときに有効なのでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。とてもよく分かりました。

＞一気に、体系がある微視的状態をとる確率から、1粒子状態の平均粒子数へと飛躍が生じているわけです。

ここの理由がいまいち理解できていませんが、お礼を投稿するのが遅れてしまったため、いったんここで締め切りとさせていただきます。すみませんでした。

お礼日時：2006/04/25 20:42