ε-δ論法のモヤっと感

Question

ε-δ論法って数学的ではない気がするのですが、私だけでしょうか。なんかこじつけのような気がします。ある数に応じて、それより小さい数をいくつでも持ってこれるから・・・とか、数学の理論の中でも稀に見るこじつけ論法ですよね。ゼノンのパラドックスを数式混じりで綴っているだけのような気がしてなりません。理解不足なのかもしれないので、このモヤっと感を払拭して頂けませんでしょうか。

yumisamisiidesu · Accepted Answer

私もモヤット感があります.
けどその一方できちんとした定義でもあると思ってます
高校で習う極限は限りなく近づくことを直感的に述べているだけで済ませてます.これは感覚的にはしっくりきますが数学的な厳密性に欠けると思います.

超準解析という分野があります(私は詳しくありませんが)
これにより超実数を定義し、無限大、無限小を数学的対象として扱っています.超準解析はモヤット感の払拭と厳密性を求めようとして生まれたのかもしれません.ただ超準解析の理論を構築するまでに数学基礎論から始めてかなり大変らしいです.まだε-δ法の方が簡単なくらいのようです.ですが最近、実数体Rを数拡張するようにして超実数体R*を構成するやり方も知られているようです.

私は変分原理を理解しようとして物理で出てくる微小変化や微小量を数学的に理解しようとして超準解析に興味を持つきっかけとなりました.が未だよく分っておりません.

jmh · Answer

∀ε＞０、｜ｘ－ａ｜＜ε→｜ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）｜＜δを満たす関数δ＝δ（ε）を構成すればよいと思います。

そうやって、全部のεに対してδ（の上限）を与える方法_も_あるというのは、よいですか？

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_ …

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29

jmh · Answer

「ｙ＝ｘ^２がｘ＝０で連続であること」を言うためには、例えば「δ＝ε^２」などと、__すべてのεに対して少なくとも１つずつδを与えれば良い__のではないでしょうか？

jmh · Answer

#12, #15 です。

「モヤっと感」は、例えば、ｙ＝ｘ^２がｘ＝０で連続であることを確かめるめには、
|ｘ|＜１→|ｙ|＜１、
|ｘ|＜１/４→|ｙ|＜１/２、
|ｘ|＜１/９→|ｙ|＜１/３、
…というような連鎖が発生して、結局「“∀ε＞０、∃δ＞０”には到達しないではないか」という感じですか？

jmh · Answer

#12 です。

この定義（∀ε＞０、∃δ＞０、|ｘ－ａ|＜δ→|ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)|＜ε）のどの部分が「いつまでたってもアキレウスは亀に追いつけない」に相当するとお考えなのでしょうか？

参考URLは、Wikipedia の「ゼノンのパラドックス」です。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

masudaya · Answer

＞しかし、この場でモヤっと感を拭ってくださる頭脳明晰な方はいらっしゃらないのでしょうか。

これは,あなたのモヤッと感が分からないので,この場で払拭するのは不可能かと・・・

εーδ論法はどんどん大きくなるとか,ずーっと近づくなどのあいまいな表現をきちんと定義しようとしたものです.

∀ε＞０、∃δ＞０、|ｘ－ａ|＜δ→|ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)|＜ε

という定義は,f(ａ)からの誤差をεといわれても,ｘをａからδ以内に入れればいいんだ,というような掛け合いを定式化していると思っています.このような掛け合いを用いないと,ずーっと近づくというような動的な変化を定式化するのが難しいからではないかと思います.

前にあげた例題分かりづらいので変形します．

lim(n→∞)　an=α　のとき

lim(n→∞) （Σ(ｋ=1 to ｎ)aｋ)/n　

はいくらになるか証明しなさい.これは,εーδが必要であるというひとつの例です.

この証明は前にあげた田島先生の【εーδ】に書いてあります.

proto · Answer

質問者さんがモヤッと感として挙げている、
いくらでも小さい数を持ってこれる、といった事も
デデキントの切断などを使えば証明できるようです。
有理数、無理数の稠密性も切断によれば理解できます。

もしε-δ論法をいかがわしいと思うならば
この切断を疑ってみるといいと思います。

さらに切断に関する証明はほとんど背理法が用いられるので、
切断がいかがわしいと思うならば
背理法を疑ってみるといいと思います。

ε-δ論法にしろ、それに代わるものにしろ、勉強をしていけば明快にわかるのかもしれません。
自分も素人なので明快にはわかりませんが、それはむしろ論法の問題ではなく、自分の勉強不足のせいかなと思います。

参考URL：http://akademeia.info/main/math_lecturez/math_suutyokusen.htm

jmh · Answer

「モヤっと感」wについて教えてください。

それは、∀ε＞０、∃δ＞０、|ｘ－ａ|＜δ→|ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)|＜ε（Wikipedia）というような「数学での"連続"の定義」が、「直感の"連続"」と合致していないからでしょうか？

それとも、この定義自体が「数学的ではない気がする」のでしょうか？

ringohatimitu · Answer

もしこの定義に納得できなければ他の自分なりに納得いく定義を考えてみられたらどうでしょうか？いろいろ試行錯誤しながら定義を考えるのもなかなか楽しいものです。そしてその定義がもしかしたら実はεδの言い換えであるかもしれないし、もしくはまったく別のものかもしれません。もし全然違うものが得られたときにまたその正当性、厳密性などを質問してみてはいかがですか？私もモヤっと感がはっきり何を指しているのか分からないので別の視点から回答させていただきました。

atomicmolecule · Answer

εδが連続性の証明になっていないといいますが私の理解では、εδをつかって連続性は定義されているのだと思います。　この点私の誤解でしたら教えてください。その際には連続性の数学的な定義をしっかり書いてください。

tuortさんの議論やコメントは数学カテにおける質問としては不定要素が多いため、モヤッ感を払拭することは出来なくて当然です。まずは「モヤッ」をもっと具体的にしなくてはならないともいますが。

ε-δ論法のモヤっと感

私もモヤット感があります.

∀ε＞０、｜ｘ－ａ｜＜ε→｜ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）｜＜δを満たす関数δ＝δ（ε）を構成すればよいと思います。

「ｙ＝ｘ^２がｘ＝０で連続であること」を言うためには、例えば「δ＝ε^２」などと、__すべてのεに対して少なくとも１つずつδを与え

#12, #15 です。

#12 です。

＞しかし、この場でモヤっと感を拭ってくださる頭脳明晰な方はいらっしゃらないのでしょうか。

質問者さんがモヤッと感として挙げている、

「モヤっと感」wについて教えてください。

もしこの定義に納得できなければ他の自分なりに納得いく定義を考えてみられたらどうでしょうか？いろいろ試行錯誤しながら定義を考えるのもなかなか楽しいものです。

εδが連続性の証明になっていないといいますが私の理解では、εδをつかって連続性は定義されているのだと思います。

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