極限の問題

ｎ→∞のときｌｉｍ（ｎ＾２／２＾ｎ）＝０を示せ。
この問題の解き方を教えていただきたいです。

３以上の自然数ｎに対して不等式２＾ｎ≧ｎ＾２／２を示せという問題があり、これは証明できました。上の問題を解く時にこの条件を利用するのでしょうか？ちなみにこの問題は「はさみうちの定理」を利用するのでしょうか？恥ずかしながら、解き方を忘れてしまいました。どなたかヒントを下さい。回答よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： postro 回答日時： 2006/04/17 20:40

二項定理の最初の数項を考えると

(1+h)^n＞1+nh+(1/2)n(n-1)h^2+(1/6)n(n-1)(n-2)h^3
（ただしh＞０）
h=1 とおくと
2^n＞1+n+(1/2)n(n-1)+(1/6)n(n-1)(n-2)＞0
よって
n^2/2^n＜n^2/{1+n+(1/2)n(n-1)+(1/6)n(n-1)(n-2)}
右辺の分母と分子をn^2で割って　ｎ→∞ とすれば　右辺→0 とわかります
0＜n^2/2^n 　だからはさみうちの原理です

この回答へのお礼

皆様、回答が遅くなってすみません。
二項定理を忘れていました。二項定理を使ってはさみうちの定理を利用するのですね。基本的な質問に答えていただいてありがとうございました。

お礼日時：2006/05/13 10:19

No.2 回答者： m234023b 回答日時： 2006/04/17 20:02

学年がわからないのでこの回答でいいのかわかりませんがロピタルの定理を使うのはどうでしょうか？？

lim(x^2/2^x)=lim(2x/2^xlog2)=lim{2/2^x(log2)^2}=0

となります．分母分子を不定でなくなるまで同じ回数微分して極限を求めるという方法です．証明は大学の解析学で習ってください．

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/04/17 18:43

例えば, 2^(n/2) と (n/2)^2 との関係を考えてみては?