中学受験・割合（らしい？）の問題です

今、塾で割合を習っています。プリントの中の一題なのですが・・・

ある真分数の分母に８を加えると１/7になり、３２を加えると1/15になります。この真分数を求めなさい。

という問題です。どうしてこれが割合なのかもわからないし、真分数って分子＜分母のことですよね。例えば１/２みたいな・・・
いろいろな問題集をみてもこんな問題ありません。
どうか教えてください。

No.7 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2007/03/11 16:43

今、受験算数をしているということは5年生でしょうか？

とりあえず、1年あるのでゆっくり考え方を吸収していけばいいのですが、
何よりもこういう問題が何を言っているのかをしっかり理解できるように
なりましょう。(そこが出発点です）

問題が言っている事
分子□、分母△　として

□／(△＋８）　これの分子、分母を通分すると１／７になる

□／（△＋３２）　これの分子、分母を通分すると１／１５になる

さて、□、△はいくつでしょうか？と聞いていますね。
次に色々考えてみて次のことに気がつくようになりましょう。

□／（△＋３２）　　これは□／（（△＋８）＋２４）

つまり、□／(△＋８）の分母（通分する前の１／７の分母）に２４を足したら１／１５になる。

次は分母分子に数字をかけて差が２４になるところを探してみる。

１／７　　１／１５　　今は差が８。分母分子に２をかけてみる
２／１４　２／３０　　差は１６しかない。では３をかけてみる。
３／２１　３／４５　　差が２４ある。ここです。では分母から足した８を引いてみる。

２１－８＝１３

だから分数は３／１３　実際、分母に３２足してみると３／４５　確かに１／１５になります。



最終的には

欲しい差は２４。今は（１５－７＝８）だ。では

２４÷８＝３

で分母分子を３倍すれば差が２４になる。。という計算がすぐできるようになれば
質問者さんも立派な中学受験戦士です。(笑)

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/13 21:12

No.8 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/03/12 14:52

求めるべき真分数を□／△とおきます。

そして、□／（△＋８）＝１／７であり、
□／（△＋３２）＝１／１５になります。
ここで、□／（△＋８）÷（□／△＋３２）＝１／７　÷　１／１５
□／（△＋８）×（△＋３２）／□＝１／７×15/1
（△＋３２）／（△＋８） ＝　１５／７になります。

ここで、（△＋３２）／（△＋８）を約分すれば１５／７になるわけですが　、△の数字が何であっても分子ー分母の数は２４になる事が分かりますよね。△に３２を足した数は△に８を足した数よりも３２－８＝２４も多く足しているので、その差は２４である事が分かります。
そして、１５／７を約分する前の数は、３０／１４、４５／２１、６０／２８，，，，などがありますが、その中で分子と分母の差が２４であるものは、４５／２１のみとなります。
よって、（△＋３２）／（△＋８）は４５／２１に等しくなります。
すると、分母の△＋３２は分母の４５に等しいので４５－３２＝１３で△は１３である事が分かります。また△＋８＝２１になる事でも△は１３になる事が分かります。ここで△の値が求まったので□の値を求めるためには、
最初に、□／（△＋８）＝１／７の箇所を利用して求めると、まず△には１３が入るので、□／２１＝１／７になります。すると、□／２１を約分すると１／７になる数は３／２１なので□は３である事が分かります。
よって、□＝３となり、これにより、□／△＝３／１３となり、求めるべき真分数は３／１３である事が分かります。

それにしても、小学生では方程式を習わないので、解くのに結構苦労しますよね…。質問者さんも中学生になれば方程式を習う事になりますので、その時はこんな苦労してこのような問題を解いていた事もいい思い出になるかと思います＾＾。どうか、中学受験の方を頑張ってくださいね…。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/13 21:11

No.6 回答者： killer_7 回答日時： 2007/03/11 15:06

分母の数字を○，

分子の数字を□としましょう．

分母に8を加えた，□/(○+8)が1/7にひとしい，ということは，
○+8が，□×7にひとしい，ということ．
同じく，□/(○+32)が1/15にひとしい，ということは，
○+32が，□×15にひとしい，ということ．

これらを線分図に表すと，
http://ccfa.info/cgi-bin/up/src/up0740.png
のようになり，24が□×8にひとしいことがわかる．
図から○は3×7-8=13．
答えは，3/13．

まあ，「○+8は□の7倍」のような割合の問題といえば，割合の問題．
「○+8は□の7倍」だと言えば，線分図を書く理由もなんとなく分かるかな．
図を書きさえすれば，計算は簡単でしょう？


ここからはよけいな話．
問題に「真分数」と限定して書いてあるのは，次のような理由でしょう．
いま，「1と1/3」のような帯分数を考えましょう．
素直に，分母に8を加えると，
「1と1/11」になりますが，こういうことを許すと問題が難しくなる．
問題を書いた人は，仮分数4/3になおして
4/(3+8)=4/11
として欲しいのですが，こういうルールを書くのは面倒だから，
真分数が答えになるような問題をつくって，
問題文に真分数と限定してあるのでしょう．

この回答へのお礼

ありがとうございました。線分図までつけてくださいまして。

お礼日時：2007/03/13 21:14

No.5 回答者： mmk2000 回答日時： 2007/03/11 14:59

割合の問題のなかでも比の問題でしょう。

もとの分数の分母を△とすると
△＋８：７＝△＋３２：１５
でとけば・・・

もっと小学生らしい方法ってあるんでしょうか・・・？

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/13 21:13

No.4 回答者： tjhiroko 回答日時： 2007/03/11 14:55

小学生はまだｘを使った方程式はやっていないんですよね？

そういう前提で考えますと、

＞ある真分数の分母に８を加えると１/7になり
この条件から、分母に8を加えた分数は2倍,3倍,4倍...して2/14, 3/21, 4/28...などとなり、分母から8を引くと2/6, 3/13, 4/20...などとなりますが、2/6=1/3, 4/20=1/5 ですから除外され、3/13が浮かび上がります。

＞３２を加えると1/15になります
これから分母に32を加えた分数は2/30, 3/45, 4/60, 5/75 などとなりますが、分母が30では「32を加える」ということがあり得ないことになりますから除外されまして、 3/45, 4/60, 5/75...などですね。
これらの分母から32を引きますと3/13, 4/28, 5/43...などとなりますが、4/28＝1/7 ですから除外されます。

これらから両方に共通の3/13が答えになる、ということでどうでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/13 21:15

No.3 回答者： Damena 回答日時： 2007/03/11 14:55

まず、分母に８を加えると 1/7 になる数を考えて見ましょう。

まず、1/7と等しい数を順に挙げていきます。

2/14、3/21、4/28、5/35、6/42、7/49、8/56、9/63、10/70、11/77、……

よって候補は

2/6、3/13、4/20、5/27、6/34、7/41、8/48、9/55、10/62、11/69、……

となります。

同様にして、分母に３２を加えると 1/15 になる分数を考えると

3/13、4/28、5/43、6/58、7/73、8/88、……

以上より、条件に適する分数は　3/13　であることがわかります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/13 21:15

No.2 回答者： debukuro 回答日時： 2007/03/11 14:33

x+8=1/7

x+32=1/15
これを解けばいいです
割合とか何とかでなく
問題はxを求めよということでしょう？

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/13 21:16

No.1 回答者： edomin2004 回答日時： 2007/03/11 14:24

解くだけなら…

元の分数をy/xとします。
y/(x+8)=1/7
7y=x+8…(1)
y/(x+32)=1/15
15y=x+32…(2)
(2)-(1)で
　15y=x+32
-)7y=x+8
8y=24
y=3
(1)に代入して
7×3=x+8
x=13
もとの真分数は
3/13
でも、こういう解き方じゃないですよね？

この回答へのお礼

う～ん、答えはあっているのですが・・・私のような小学生では・・・
でもありがとうございました。

お礼日時：2007/03/11 14:27