No.3
- 回答日時:
オイラーの定数の一つの表し方
C = - ∫[0,∞]dt exp(-t) log t
= - ∫[0,x]dt exp(-t) log t -∫[x,∞]dt exp(-t) log t
から出発します。部分積分すると
∫[x,∞]dt exp(-t) log t = exp(-x) log x + E1(x)
(E1(x)=∫[x,∞]dt exp(-t)/t は積分指数関数)
より
E1(x) = - C - ∫[0,x]dt exp(-t) log t - exp(-x) log x
= - C - log x -∫[0,x]dt exp(-t) log t +[1-exp(-x)] log x
= - C - log x -∫[0,x]dt [exp(-t) - 1]/ t
この式と
Ci(x) = (-1/2)[E1(ix) + E1(-ix)]
から
Ci(x) = C + log x+∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
が分かります。すなわち積分の発散する部分を分離するため
exp(-x) log x = log x + [exp(-x) - 1 ] log x
と変形する所が最大のポイントと言えるでしょう。
この回答への補足
どうもE1(z)の計算がよくわからないのでアルフケンの本を見てからにします。
なお、#3の方法はE1(x)を介しているのでよく解らなかったのですが別の公式
C = ∫[0,∞]dt {1/(1+t)-cos(t)}/t
から変形すると比較的簡単に結論が得られました。
本当にありがとうございました。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
それほど簡単ではないと思います。
tが小さい時{(cos t)-1}/t = - t/2! + t^3/4! - t^5/6! +…
と展開できます。項別に積分すると
∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
= Σ{n=0~∞}(-1)^n x^(2n) /(2n(2n)!)
であることが分かります。この式と
アルフケン:特殊関数(基礎物理数学第4版 vol.3)
の演習1.5.10の式
Ci(x) = C+log x + Σ{n=1~∞}(-1)^n x^(2n) /(2n(2n)!)
とから
Ci(x) = C + log x+∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
が出ます。演習1.5.10の式は積分指数関数と積分余弦関数の関係
Ci(x) = (-1/2)[E1(ix) + E1(-ix)]
と
E1(x) = - C-log x + Σ{n=1~∞}(-1)^n x^n /(n・n!) … (1)
からすぐに分かります。(1)式の導出は上記参考書にあります。
ありがとうございます。
手元の岩波数学公式集と見比べているのですが、注意書きにあるようにどうも微妙に定義が異なるようです。
たとえばオイラーの定数の積分表示なのですが一番似たものでも∫[0,∞]dt{e^(-t)}log(1/t)といった感じです。
アルフケンの本は図書館にあったので予約してきました。
お気楽に考えていたのですがどうも大変なものに手を出したようです?
でもせっかくですので昔を思い出しながら挑戦してみます。
No.1
- 回答日時:
∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
=∫[0,∞]dt{(cos t)-1}/t - ∫[x,∞]dt{(cos t)-1}/t
=∫[0,∞]dt{(cos t)-1}/t - ∫[x,∞]dt{(cos t)/t} + log x
という感じで変形していくのかなー
と思ったのですが、どうでしょう?
ありがとうございます。
マイナーなんですね、あきらめかけいました。
いま時間がないのでちょっと見た感じでは
C=lim(R->∞){-∫[0,R]dt{(cos t)-1}/t + log R}
がいえれば良いようですね。
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