Σの公式、階差数列、数学的帰納法、恒等式、漸化式が分かりません

僕は数学検定の準２級（高校２年レベル）を受けるのですが、
Σの公式、階差数列、数学的帰納法、恒等式、漸化式がよく分かりません。

具体的に言うと、

＠Σの公式
・Σの上にある数字は、何を表しているのですか？
・Σの下にあるk=1とはなんですか？kとは初項のことですか？

＠階差数列
・階差数列そのものの意味が分かりません。どんな数列のことを言うんですか？

＠数学的帰納法
・数学的帰納法は「数列の証明をする時に使う物」という解釈で良いのでしょうか？
・n=kの時と有りますが、kとは何ですか？

＠恒等式、漸化式
・恒等式、漸化式そのものがよく分かりません。
　どんな時に使うものなのですか？

このうち１つだけでも良いので、誰か教えて下さいおねがいします。
中３なので、分かりやすく教えてもらえると助かります。

No.6 ベストアンサー 回答者： at9_am 回答日時： 2006/05/31 12:20

＃４です。

補足します。

a)k=a について命題が成り立つことを示す(a は整数)。通常、a=1 であることが多い。
b)k=n の時に成り立つことを前提に、k=n+1 で成り立つことを示す。

紛らわしいので(1)...を(a)...に変更しました。すると質問者の方の参考書とは次のような対応になります。

１）n=1のときに成り立つことを示す。(a)
２）n=kで成り立つと仮定する。(b前半)
３）n=k+1でも成り立つことを示す。(b後半)
４）すべての自然数nで成り立つ。(結論)

この時の k や n は、数列の和などとは関係ありません。i やαでも良いですが、慣例として k や n が使われることが多いだけです。

2)は単純に「n = k のとき命題が成り立つ」と仮定しているだけです。ですから、この時点では本当に成り立っているかどうかは分かりません。

3)では、「n=k の時に成り立っている」という条件の下で「n=k+1 で命題が成り立っている」ことを示します。

2)と3)を合わせると、n=1 が成り立っているので n=2 が成り立つ、n=2 が成り立っているので n=3 が成り立つ、...という形で全ての１以上の整数(自然数)で命題が成り立つことがわかるので、「すべての自然数nで成り立つ」という命題が証明されたことになります。




> 一般項Anを類推しなさい、という問題もありましたが、これは一般項Anを求めよと同じことを指しているのですか？

その通りです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞この時の k や n は、数列の和などとは関係ありません。
＞i やαでも良いですが、慣例として k や n が使われることが多いだけです。
なるほど・・ということは、kやnにはどの自然数も当てはまり、
特に条件がある数ではない、ということですよね？

何度も親切に答えてくださり、本当にありがとうございます(^^

お礼日時：2006/05/31 16:50

No.5 回答者： springside 回答日時： 2006/05/31 00:53

>>人に聞いたほうが速いと思って質問してみました。

これは逆です。
まず、高校数学の参考書（チャート式など）できちんと勉強するのが最も早道だと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

参考書買わないとやはりマズいみたいですね(^^;
検討してみます。

お礼日時：2006/05/31 16:42

No.4 回答者： at9_am 回答日時： 2006/05/30 22:24

Σについては＃１の方が回答されているので割愛。

ただし、A(k) を 1 から n まで足した物ですので、
　n
　ΣA(k) ＝ A(1) ＋ A(2) ＋ A(3) ＋…＋ A(n-1) ＋ A(n)
　k=1
の打ち間違いですね。


数列というのは単に数がある規則で並んでいるものを指しますが、階差数列は、例えば数列 A(n) の階差 A(n)-A(n-1) が別の数列 B(n) になっている場合を指します。したがって、
A(n) - A(n-1) = B(n)
A(n) = B(n) + A(n-1)
= B(n) + B(n-1) + A(n-2)
= ...
= B(n) + ... + B(1) + A(0)
という関係を導くことが出来ます。


数学的帰納法は、
1)k=a について命題が成り立つことを示す(a は整数)。通常、a=1 であることが多い。
2)k=n の時に成り立つことを前提に、k=n+1 で成り立つことを示す。
という手順で行われます。この結果、k=1 が成り立っているならば k=2 でも成り立つ、k=2 でも成り立つならば k=3 でも成り立つ、・・・というように、a より大きい全ての整数で成り立つことを示すことが出来ます。
数列以外にも証明で使うことがあります。


恒等式は「常に等しい」という関係式です。
例えば、財布に1000円入っていて、120円の缶コーヒーを買うと残りは880円です。これを数式で表すと、最初に持っていた金額を a 円、使った金額を b 円、残っている金額を c 円とした場合、
a = b + c
は常に成り立ちます。このような式のことを恒等式といいます。


漸化式とは、数列で
A(n) = αA(n-1) + βA(n-2)
のように、A(n) がそれ以前の項 (A(n-1) や A(n-2) 等) によって決まるとき、その関係式です。
高校では、例で上げたような漸化式が与えられたとき、一般項を求めよ、というような問題が典型的ですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

恒等式とΣの公式、階差数列は（恐らく）理解できました。
理解は出来たのですが、やり方を忘れそうで恐いですorz

＞数学的帰納法
僕の参考書では、このように書かれていました。

１）n=1のときに成り立つことを示す。
２）n=kで成り立つと仮定する。
３）n=k+1でも成り立つことを示す。
４）すべての自然数nで成り立つ。

ここでのnは、Σの時と同じように「第n項まで」、
kは「第k項から」という意味でしょうか？
だとしたら、n=kというのは同じ項で成り立つということでしょうか？

＞漸化式
＞A(n) がそれ以前の項 (A(n-1) や A(n-2) 等) によって決まるとき、その関係式です。
なるほど・・。そういうことだったんですね(^^;
一般項Anを類推しなさい、という問題もありましたが、
これは一般項Anを求めよと同じことを指しているのですか？

お礼日時：2006/05/30 23:02

No.3 回答者： kengon415 回答日時： 2006/05/30 22:12

階差数列とは、その名の通りある数列の差を取った数列です。

以下のような時に使います。

仮に、1,1,3,7,13,21…という数列の一般項を求めよという問題があったとします。

この問題は、階差数列を使うと簡単になります。

具体的に求めると、この数列の階差数列は、0,2,4,6,8…と等差数列になります。

これにより元の数列の一般項を求めるのですが、
Σの計算が出てくるので、まずΣの意味をしっかりと理解してから考えないと混乱してしまうと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞1,1,3,7,13,21…という数列の一般項を求めよという問題があったとします。
＞この数列の階差数列は、0,2,4,6,8…と等差数列になります。
１から１まで０増えているから「０」、１から３まで２鰾ているから「２」、
という感じですよね？

参考書を見ると、
n-1
An=a1+ΣBk(n≧2)
　　　k=1
と書かれていました。（ずれていたらごめんなさい）
階差数列の問題を解きまくってどうにかマスターしてみます。

お礼日時：2006/05/30 22:48

No.2 回答者： ag102210 回答日時： 2006/05/30 22:10

>>Σの上にある数字は、何を表しているのですか？

>>Σの下にあるk=1とはなんですか？kとは初項のことですか？

Σ記号のしたのk=1は、『数列の初項から和を計算する』ことを示しています。ですから、場合によってはk=2だったりk=x+1とかだったりすることもあるかと思います。
一方、Σ記号の上のnは『第n項までの和を計算する』ということです。

たとえば、数列{1,3,5,7,・・・}←一般項は2n-1　で、Σ記号の下がk=1、上が5だとしたら、その値は1+3+5+7+9=25ですね。高校数学の教科書に載っている公式流なら2*1/2*5*(5+1)-5=25 といったところですかね。

>>このうち１つだけでも良いので、誰か教えて下さいおねがいします。

とりあえず、Σのことはこんなもんでしょう。他の説明も自分なりには出来ると思いますが、わからない部分が多いようですし、高校数学の参考書を片手にやったほうが効率いいかもしれません(テキストなしの独学でやられているようならばですが)。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞Σ記号のしたのk=1は、『数列の初項から和を計算する』ことを示しています。
なるほど、そうだったんですか(^^;
ということは、k=5だったら、
数列の５番目から和を計算するということになるのでしょうか？

＞Σ記号の上のnは『第n項までの和を計算する』ということです。
なるほど・・第n項までの和を計算するということだったんですね。
ということは、k=5でn=20だったら、
第５項～第２０項までの和を計算するという意味になるのでしょうか？

＞高校数学の参考書を片手にやったほうが効率いいかもしれません
＞(テキストなしの独学でやられているようならばですが)。
数検の参考書を見ながら勉強しているのですが、
いまいちよく分からない部分がいくつかあります・・(^^;
本当は高校数学の基礎の基礎から勉強したほうが良いのだとは思うのですが、
本番まであと３日程度しかないので・・(^^;
人に聞いたほうが速いと思って質問してみました。

お礼日時：2006/05/30 22:42

No.1 回答者： phototon 回答日時： 2006/05/30 21:52

Σについて。

ここで(1)の式があったとします。

　n
　ΣA(k)　　－－－－－－(1)
　k=1

A(k)は、kの関数で変数kに値を入れることでA(k)も変化すると考えてください。
k=1とnは、シグマの後に続くA(k)のkに1～nまでの値を代入していき、その総和を求めるということになります。よって(1)は

　n
　ΣA(k) ＝ A(1) ＋ A(2) ＋ A(3) ＋…＋ A(k-1) ＋ A(k)
　k=1

となります。

こんな具合でいいでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞シグマの後に続くA(k)のkに1～nまでの値を代入していき、
＞その総和を求めるということになります。
なるほど、kに最初の数から代入していくんですね。
その前に、nって「n番目の数まで」という意味だったんですね(^^;

しかし、k=5だったらどうやって求めればいいのでしょうか・・？
数検の問題にあったのですが、答えを見てもやり方がいまいち分かりません(^^;

お礼日時：2006/05/30 22:36