教えてください。

(1)複素数ｚがｚ＾8＝１を満たし、実部が正、虚部が負のとき、ｚ＝？？？である。
(2)平面上にどの２本も互いに平行でないは１０本の直線があるとき、それらの直線どうしの交点の数は、？？？個である。ただし、３本以上の直線が１点で交わることはないとする。

(2)は４５らしいのですが解き方がわかりません。(1)は分かりません。
分かる方ヒントでも良いので、教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ume_pyon 回答日時： 2002/02/15 23:11

ヒントっす！

(1)←数学Bの教科書にはたいてい載っていると思います．
ちょうどおととい，かてきょーの生徒に教えていた問題です（偶然！）

z=r(cosθ+isinθ)

とおいて，z^8=1に代入すると・・・？答えは8個出てくるはずです．←最初はこれを見つけるのがムズカシイようですが．
ド・モアブルの定理を使いましょう．


＜ちなみに，以下はz^n=1の問題を解くときの裏技です！＞

・複素平面に，半径が1，原点を中心とする円をかく
・z=1の点（実軸と円周が交わる正の点）を１つの頂点として，そこから円周沿いに正n角形をかく
・その頂点がzの答えである．

（つまり，z^8=1なら，z=1をひとつの頂点とする正八角形を書いてみましょう．すると・・・？）

なんでこうなるかは・・・？まあ，暇があったら考えてみてください．
ちなみに，応用すればz^n=a+biの一般系もこの方法で解けますぞ！
（ヒントは，a+biを極形式に直しましょう．そのときの角度θがスタート地点となるのです）


(2)
数学的な証明はおいといて，実際に並べ上げてみるとはやそうです．

直線が１本：交点は０コ
直線が２本：交点は１コ
直線が３本：交点は１＋２コ

・・・

じゃあ，直線が１０本のときは？

ヒントは，「直線は無限に長いので，２直線が平行でない限り，どこかで絶対に交わる」ことです．

この回答へのお礼

この前も解答してくれましたよね！？
ありがとうございました。

お礼日時：2002/02/21 00:00

No.2 回答者： Umada 回答日時： 2002/02/15 23:39

(1)ですが、複素平面上の単位円で考えるのが本筋とも言える解き方です。

複素平面は分かりますか?　念のため申し上げておきますと(x, y)座標と同じようなものです。例えば複素数(3+4i)は点(3,4)に対応します。

さていま、ある複素数に-1をかけると、積は原点を対象とした位置に移ります。原点を中心に180°回転します。
ではある複素数にiを掛けてみるとどうでしょう。原点を中心として90°回転することが分かります。
このように複素数をかけ合わせると言うことは、複素平面上で回転する演算に対応します。より詳しく言えば、a+biにc+diを掛けると、もとの点a+biから角度θだけ回転し、かつ絶対値は√(c^2+d^2)倍になった点に移ります。ここでθはtanθ＝c/dを満たす角度です。

さて問題ですが、「ある数を8回掛けたら、複素平面上の(1,0)になった」ということです。(8回かけても絶対値は1であることに注意、zの絶対値は1だとすぐに分かります。それで「単位円」上の点だと分かります)
単位円を45°ずつ8つに区切ってみてください。
8回回って0°の方向に戻る角度は、0°、45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°の8つです。
0°は1 (=1+0i)　45°は1/√2+i/√2、90°は0+i、135°は-1/√2+i/√2・・・といった具合にそれぞれ対応します。
このうち実部が正、虚部が負であるものは、315°に対応する　1/√2-i/√2　です。

(2)は簡単な場合について数えてみてから、漸化式を立てて考えるのが常道です。
いま、直線がn本ある時の交点の数をa(n)とします。

直線が2本なら　交点は1つ
これにもう1本線を引くと　交点は2つ増えて3つになります。

直線が3本なら　交点は3つ
これにもう1本直線を引くと　交点は3つ増えて6つになります。

ほとんど明らかですが、n本の直線が引いてあるところにもう1本直線を足すと、交点はn個できます。
a(n+1)=n+a(n)
という漸化式が立てられます。これはすぐ解けて、
a(n)=a(1)+Σk
(数列の和はk=0からk=n-1まで取る)
ここでa(1)=0なので、単に
a(n)=Σk
(数列の和はk=0からk=n-1まで取る)
となります。
従って直線を10本引いた時の交点は45個です。

この回答への補足

ありがとうございます。
(1)の「このうち実部が正、虚部が負であるものは、315°に対応する　1/√2-i/√2　です。」
のところは、cos315°+i sin315°でもいいのですか？

補足日時：2002/02/18 20:33

この回答へのお礼

なんとか解けました。
ありがとうございました。

お礼日時：2002/02/20 23:56

No.3 回答者： kony0 回答日時： 2002/02/16 12:55

(2)だけ、ちょこっと追加します。

たぶんこの問題、適当な問題集なら、解答には10C2=45とだけ書いてあると思います。
これは、たとえば、直線に1-10までの番号を適当に割り振ってあげて（10色の色鉛筆を使って線を引いたのでも可^^;）
「1と2が交わってできた交点」「1と3が交わってできた交点」・・・「9と10が交わってできた交点」というように、それぞれの交点をとらえることにします。
この交点の数っていうのは、結局「10本の直線のうち、異なる2本の選び方」と一致するというわけです。
ここで、場合の数の問題で、いつも「順列」か「組み合わせ」のどちらを使えばいいかわからなくなる人も多いかと思いますが、この問題では、「1と2の交点」と「2と1の交点」は同じものですよね？だから、２つを選ぶ順番は関係ない、組み合わせ的思考となります。

さて、蛇足ですが、もし１つだけ、３本の直線が交わっている点があった場合、交点の数はどうなるでしょうか？
答えからいうと、43になります。
これは、この１点を通る直線を1,2,3とでも考えてあげると、上の10C2の考え方の中では、この交点のことを、「1と2の交点」「1と3の交点」「2と3の交点」というように3回（式で言うと、3C2＝この点を通る３本から２本を選ぶ選び方）数えていることになりますから、２回分多く数えすぎ（3C2-1: １回分はきちんと数えてあげる必要があるための「-1」）となります。
同様に、１点だけ４本の直線が交わっているならば、10C2-(4C2-1)=40、２点だけ、それぞれ３本の直線が交わっているならば、10C2-2*(3C2-1)=41となります。

この回答へのお礼

解けました。
ありがとうございました。

お礼日時：2002/02/20 23:54

No.4 回答者： rei00 回答日時： 2002/02/16 12:56

（２）について

> 平面上にどの２本も互いに平行でないは１０本の直線がある
> ただし、３本以上の直線が１点で交わることはないとする。

　と言う事は，直線を２本選べば交点が１つできるわけですね。つまり，「交点の数」＝「１０本の直線から２本を選ぶ選び方の数」です。

　よって，「交点の数」＝ 10Ｃ2 ＝ 10!/(8!・2!) ＝ 10・9/2 ＝ 45

　いかがでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
解けました。

お礼日時：2002/02/20 23:53