(1)複素数zがz^8=1を満たし、実部が正、虚部が負のとき、z=???である。
(2)平面上にどの2本も互いに平行でないは10本の直線があるとき、それらの直線どうしの交点の数は、???個である。ただし、3本以上の直線が1点で交わることはないとする。

(2)は45らしいのですが解き方がわかりません。(1)は分かりません。
分かる方ヒントでも良いので、教えてください。

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A 回答 (4件)

ヒントっす!



(1)←数学Bの教科書にはたいてい載っていると思います.
ちょうどおととい,かてきょーの生徒に教えていた問題です(偶然!)

z=r(cosθ+isinθ)

とおいて,z^8=1に代入すると・・・?答えは8個出てくるはずです.←最初はこれを見つけるのがムズカシイようですが.
ド・モアブルの定理を使いましょう.


<ちなみに,以下はz^n=1の問題を解くときの裏技です!>

・複素平面に,半径が1,原点を中心とする円をかく
・z=1の点(実軸と円周が交わる正の点)を1つの頂点として,そこから円周沿いに正n角形をかく
・その頂点がzの答えである.

(つまり,z^8=1なら,z=1をひとつの頂点とする正八角形を書いてみましょう.すると・・・?)

なんでこうなるかは・・・?まあ,暇があったら考えてみてください.
ちなみに,応用すればz^n=a+biの一般系もこの方法で解けますぞ!
(ヒントは,a+biを極形式に直しましょう.そのときの角度θがスタート地点となるのです)


(2)
数学的な証明はおいといて,実際に並べ上げてみるとはやそうです.

直線が1本:交点は0コ
直線が2本:交点は1コ
直線が3本:交点は1+2コ

・・・

じゃあ,直線が10本のときは?

ヒントは,「直線は無限に長いので,2直線が平行でない限り,どこかで絶対に交わる」ことです.
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この回答へのお礼

この前も解答してくれましたよね!?
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/21 00:00

(2)について



> 平面上にどの2本も互いに平行でないは10本の直線がある
> ただし、3本以上の直線が1点で交わることはないとする。

 と言う事は,直線を2本選べば交点が1つできるわけですね。つまり,「交点の数」=「10本の直線から2本を選ぶ選び方の数」です。

 よって,「交点の数」= 10C2 = 10!/(8!・2!) = 10・9/2 = 45

 いかがでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
解けました。

お礼日時:2002/02/20 23:53

(2)だけ、ちょこっと追加します。


たぶんこの問題、適当な問題集なら、解答には10C2=45とだけ書いてあると思います。
これは、たとえば、直線に1-10までの番号を適当に割り振ってあげて(10色の色鉛筆を使って線を引いたのでも可^^;)
「1と2が交わってできた交点」「1と3が交わってできた交点」・・・「9と10が交わってできた交点」というように、それぞれの交点をとらえることにします。
この交点の数っていうのは、結局「10本の直線のうち、異なる2本の選び方」と一致するというわけです。
ここで、場合の数の問題で、いつも「順列」か「組み合わせ」のどちらを使えばいいかわからなくなる人も多いかと思いますが、この問題では、「1と2の交点」と「2と1の交点」は同じものですよね?だから、2つを選ぶ順番は関係ない、組み合わせ的思考となります。

さて、蛇足ですが、もし1つだけ、3本の直線が交わっている点があった場合、交点の数はどうなるでしょうか?
答えからいうと、43になります。
これは、この1点を通る直線を1,2,3とでも考えてあげると、上の10C2の考え方の中では、この交点のことを、「1と2の交点」「1と3の交点」「2と3の交点」というように3回(式で言うと、3C2=この点を通る3本から2本を選ぶ選び方)数えていることになりますから、2回分多く数えすぎ(3C2-1: 1回分はきちんと数えてあげる必要があるための「-1」)となります。
同様に、1点だけ4本の直線が交わっているならば、10C2-(4C2-1)=40、2点だけ、それぞれ3本の直線が交わっているならば、10C2-2*(3C2-1)=41となります。
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この回答へのお礼

解けました。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/20 23:54

(1)ですが、複素平面上の単位円で考えるのが本筋とも言える解き方です。

複素平面は分かりますか? 念のため申し上げておきますと(x, y)座標と同じようなものです。例えば複素数(3+4i)は点(3,4)に対応します。

さていま、ある複素数に-1をかけると、積は原点を対象とした位置に移ります。原点を中心に180°回転します。
ではある複素数にiを掛けてみるとどうでしょう。原点を中心として90°回転することが分かります。
このように複素数をかけ合わせると言うことは、複素平面上で回転する演算に対応します。より詳しく言えば、a+biにc+diを掛けると、もとの点a+biから角度θだけ回転し、かつ絶対値は√(c^2+d^2)倍になった点に移ります。ここでθはtanθ=c/dを満たす角度です。

さて問題ですが、「ある数を8回掛けたら、複素平面上の(1,0)になった」ということです。(8回かけても絶対値は1であることに注意、zの絶対値は1だとすぐに分かります。それで「単位円」上の点だと分かります)
単位円を45°ずつ8つに区切ってみてください。
8回回って0°の方向に戻る角度は、0°、45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°の8つです。
0°は1 (=1+0i) 45°は1/√2+i/√2、90°は0+i、135°は-1/√2+i/√2・・・といった具合にそれぞれ対応します。
このうち実部が正、虚部が負であるものは、315°に対応する 1/√2-i/√2 です。

(2)は簡単な場合について数えてみてから、漸化式を立てて考えるのが常道です。
いま、直線がn本ある時の交点の数をa(n)とします。

直線が2本なら 交点は1つ
これにもう1本線を引くと 交点は2つ増えて3つになります。

直線が3本なら 交点は3つ
これにもう1本直線を引くと 交点は3つ増えて6つになります。

ほとんど明らかですが、n本の直線が引いてあるところにもう1本直線を足すと、交点はn個できます。
a(n+1)=n+a(n)
という漸化式が立てられます。これはすぐ解けて、
a(n)=a(1)+Σk
(数列の和はk=0からk=n-1まで取る)
ここでa(1)=0なので、単に
a(n)=Σk
(数列の和はk=0からk=n-1まで取る)
となります。
従って直線を10本引いた時の交点は45個です。

この回答への補足

ありがとうございます。
(1)の「このうち実部が正、虚部が負であるものは、315°に対応する 1/√2-i/√2 です。」
のところは、cos315°+i sin315°でもいいのですか?

補足日時:2002/02/18 20:33
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この回答へのお礼

なんとか解けました。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/20 23:56

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Q3直線の方程式からそれらの交点を通る円の式を求める方法

3直線
  L:f(x,y)=0
  M:g(x,y)=0
  N:h(x,y)=0
があり,LとMの交点をA,MとNの交点をB,NとLの交点をCとすると,3点A,B,Cを通る円の式は
 f(x,y)g(x,y)+αg(x,y)h(x,y)+βh(x,y)f(x,y)=0
と表される.

上記の事実において、
 f(x,y)g(x,y)+αg(x,y)h(x,y)+βh(x,y)f(x,y)=0
という式を考えれば、それが2次曲線であること、x^2とy^2の係数を等しくし、xyの係数を0にするようにα,βを選ぶことが出来ること、A,B,Cを通ること、を示せばいいと思います。

しかし、
 f(x,y)g(x,y)+αg(x,y)h(x,y)+βh(x,y)f(x,y)=0
という式がどうしても天下り的で、どうしてそんな式を考えるのかがいまいち納得できません。

つまり、問題を解くことはできるかもしれないが、問題を作った人の心理を推し量ることができないのです。

その式の背景にあるものはなんなのでしょうか?

そのことが分かれば、たとえば、
3直線の方程式からそれらでできる三角形の内接円の式を求める方法
3点の座標からそれらでできる三角形の外接円の式を求める方法
3点の座標からそれらでできる三角形の内接円の式を求める方法
3円の方程式からそれらの共通弦の交点(1点になる)の座標を求める方法
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/gc/world/3en3sen-a.htm
を参照

を推し量ることができると思うのですが。

3直線
  L:f(x,y)=0
  M:g(x,y)=0
  N:h(x,y)=0
があり,LとMの交点をA,MとNの交点をB,NとLの交点をCとすると,3点A,B,Cを通る円の式は
 f(x,y)g(x,y)+αg(x,y)h(x,y)+βh(x,y)f(x,y)=0
と表される.

上記の事実において、
 f(x,y)g(x,y)+αg(x,y)h(x,y)+βh(x,y)f(x,y)=0
という式を考えれば、それが2次曲線であること、x^2とy^2の係数を等しくし、xyの係数を0にするようにα,βを選ぶことが出来ること、A,B,Cを通ること、を示せばいいと思います。

しかし、
 f(x,y)g(x,y)+αg(x,y)h(x,y...続きを読む

Aベストアンサー

追加です。

高校数学以上になると、ささいな公式の導きにはさほど力点が置かれてません。

質問者の回答へつながるよう、もういちどしっかり?とかいてみます。なにぶん二次曲線は深くはやってませんので。

まず、平面上での直線・曲線の領域を拡張し、そこに恒等式の考え方を援用するということで説明にはなるかもしれないと思います。

1.直線と点

直線の一般式・・・aX+bY+C=0 ですね、XとYの一次の項と定数でできています。

(a,b)を通る直線の式では、X-a=0,Y-b=0を常に満たしている、aX+bY+C=0でなければなりません。

そうすると、m(X-a)+n(Y-b)=0 が恒等的になりたてばよいわけで、

n(Y-b)=-m(X-a) → Y-b=-m/n(X-a) → Y-b =k(X-a) という公式が導き出されるわけです。

2.直線と2直線の交点

aX+bY+c=0 dX+eY+f=0の二直線の交点を通る式

aX+bY=0 cX+dY=0を恒等的に満たせばよいわけで、

m(aX+bY+c)+n(dX+eY+f)=0 が恒等的成立します。

3.二次曲線と2直線の交点

二次曲線の一般式・・・aX^2+2hXY+bY^2+2gX+2fY+c=0 ですね、XとYの二次式と定数でできています。

補足 ab-h^2>0 楕円および円  ab-h^2=0 放物線  ab-h^2<0 双曲線

aX+bY+c=0 dX+eY+f=0の二直線 かくのがしんどいので、aX+bY+cをl dX+eY+fをmと書きます。

二直線の交点を通る二次曲線の式は l=0, m=0 を恒等的に満たせばよいわけで、

さらに、二次曲線はXとYの二次式だから

α(aX+bY+c)(dX+eY+f)=0 を恒等的に満たせばよいわけで、これが2直線の交点を通る二次曲線の一般式ですね。

4.二次曲線と3直線の交点

あなたの表記をつかうと、

αf(x,y)g(x,y)+βg(x,y)h(x,y)=0・・・2直線αとβの交点を通る二次曲線
βg(x,y)h(x,y)+γh(x,y)f(x,y)=0・・・2直線βとγの交点を通る二次曲線
γf(x,y)g(x,y)αh(x,y)f(x,y)=0・・・2直線γとαの交点を通る二次曲線

この3式を同時に満たす、恒等式を作るには、3式を加えればよいわけで、
2αf(x,y)g(x,y)+2βg(x,y)h(x,y)+2γh(x,y)f(x,y)=0

両辺を2αでわって整理をすると

f(x,y)g(x,y)+β/α・g(x,y)h(x,y)+γ/α・h(x,y)f(x,y)=0


β/α=A γ/α=Bにおきかえると

f(x,y)g(x,y)+Ag(x,y)h(x,y)+Bh(x,y)f(x,y)=0 となり導き出せました。

といったぐあいです。


ここから先はちよっと着き合いきれませんが、少しふれると

例えば、3直線の方程式からそれらでできる三角形の内接円の式を求める方法

二直線の作る角を二等分する直線・・・二直線から等距離にある点の軌跡

から、3直線の方程式からそれらの交点を通る円の式を求める方法にあてはめればよいかと。

追加です。

高校数学以上になると、ささいな公式の導きにはさほど力点が置かれてません。

質問者の回答へつながるよう、もういちどしっかり?とかいてみます。なにぶん二次曲線は深くはやってませんので。

まず、平面上での直線・曲線の領域を拡張し、そこに恒等式の考え方を援用するということで説明にはなるかもしれないと思います。

1.直線と点

直線の一般式・・・aX+bY+C=0 ですね、XとYの一次の項と定数でできています。

(a,b)を通る直線の式では、X-a=0,Y-b=0を常に満たしている、aX+bY...続きを読む

Q単位数

こんにちは。質問させて頂きます。
ある資格取得の為に、大学の時の単位数を知りたくて 何単位取得したかを知りたいのですが
成績証明書を取ればいいのか、それとも単位取得(修得?)証明書だったのか忘れてしまいました。

自分が取った単位数を知りたい場合、どう大学に問い合わせれば良いのか教えてほしいのです。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

大学の事務局か何かに電話して「○年卒業の○○です」と名乗り、「自分がとった単位数を知りたいが、どうすればいいか」と聞けばよろしいかと思います。
各種証明の発行条件は大学によって異なりますので、ここで質問しても仕方がないのではありませんか?

Q直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限らないので、
結果
2t+3s=0 t-4s=-11となり、
t=-3、s=2となりました。
交点は(x、y)=(3.1)となりました(答)

問題2は
(1)の方向ベクトルと(2)の方向ベクトルがどのようにしたら求めてよいのか解らないのでとけませんでした。 いままで学んだ内容だと、二点P1(-1,3),P2(2,-1)をとおる媒介変数tを表せという問題をといてきて、
単純にp1p2=(x-x1,y-y1) をやって方向ベクトルをもとめ、x=x1+tl,y=y1+tmの公式にしたがってx=-1+3t,y=3-4tと方向ベクトルを求めていたのですけど、
今回はx-x1にあたる部分が題意を読んで何処なのかわかりませんでした。

題意のx=-3-2t、y=4+t (1)と(2)の式からx1の部分をー3、y1の部分を4とみるのでしょうか?
そうすると、x-x1、y-y1のx1とy1の部分はわかるのですけど、xとyが解らないので、引き算ができず、方向ベクトルが求まりませんでした。

答えをみるとl→=(-2,1)(1) m→=(-3、-4)(2)となってました。どうやったらこのように求まるのでしょうか?

問題3は手が付けられませんでした>_<

だれかこの問題詳しく教えてください、宜しくおねがいします!!>_<

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限...続きを読む

Aベストアンサー

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

cos(180°-θ)
=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4)としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=...続きを読む

Q旧ソ連における回転数の単位

 エンジン等の回転数を表す単位として、日本ではrpmが使用される事が多いのですが、rpmはrevolutions per minuteの略ですから、英語圏において使われ始めた単位であると思われます。
 そうしますと、英語圏の中心的な国家であるアメリカ合衆国とかっては対立していた、冷戦期の旧ソビエト社会主義共和国連邦では、エンジンの回転数を表記する場合に、rpm以外の単位が使用されていた可能性もあるかと思いますが、実際にはどの様な単位が主に使用されていたのでしょうか?
 出来れば、軍用の航空機用ガスタービンエンジン(ジェットも含む)の回転数を表す際に使用されていた単位を御教え願います。(おそらく民生用エンジンと同じ単位だとは思います)
 尚、知りたいのはあくまで主用されていたエンジン回転数の単位に関してであり、一部の特殊な分野においてのみ使用されていた単位は除外して頂きたいと思います。

Aベストアンサー

ロシア語上で「RPM」を何というか、興味が湧いたので調べました。
まず翻訳サイトを通しますと、こうなりました。
http://translate.google.co.jp/#en/ru/%EF%BD%92%EF%BD%90%EF%BD%8D
「число оборотов в минуту」は単語順に、
「number speed per minute」に相当します。

そのままロシア語wikiを引くと回転計がありました。
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82_%D0%B2_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%83
「об/мин, 1/мин, мин-1」とも略記する様です。wikiの写真は普通に1/min
になってますが、「об/мин」の例はここにありました.
http://achtungskyhawk.wordpress.com/page/7/

ただ、「>出来れば、軍用の航空機用ガスタービンエンジン(ジェットも含む)の回転数
を表す際に使用されていた単位を」とのことですが、レシプロエンジンなら飛行機も
ヘリコプターもタコメーターはRPM表示ですが、通常は航空機のガスタービンエンジンの
回転計はパーセント表示です。
http://www.jal.com/ja/jiten/dict/p173.html#05
なかなかソ連/ロシア製のものの証拠が見つかりませんでしたが、かろうじてMIG-23の
計器盤画像はありました。
http://www.airliners.net/photo/Czech-Republic--/Mikoyan-Gurevich-MiG-23ML/1167720/L/
赤緑アンバーのランプが並ぶアナウンシエーターパネルの上に「100%」と書かれた
計器があり、どうも3ヶ国語が並んで略記でなくそのまま「回転」と書かれているように
思えますが、これがそうだと思います。

ロシア語上で「RPM」を何というか、興味が湧いたので調べました。
まず翻訳サイトを通しますと、こうなりました。
http://translate.google.co.jp/#en/ru/%EF%BD%92%EF%BD%90%EF%BD%8D
「число оборотов в минуту」は単語順に、
「number speed per minute」に相当します。

そのままロシア語wikiを引くと回転計がありました。
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82_%D0%B2_%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%83
「об/мин, 1/мин, мин-1」とも略記する様です。wikiの写真は普通に...続きを読む

Q複素共役をZ*とすると Z=0^0⇒Z・Z*=1

  合っているかどうかわかりませんが

  Z=0^0 ⇒ Z^n=1 ⇒ Z・Z*=1

  と、なりました。間違っているのかどうか誰かお教えください。

  Z=0^0=0^(-0)=1÷0^0 なので

  Z^2=1 ⇒ Z^n=1 ⇒ z=x+yi 、x^2+y^2=1

  となりました。これは何か数学的に意味があるのでしょうか?

Aベストアンサー

> 0 にならないことがわかれば
> 私としてはそれでいいです。

そうですか。
質問文中の結論と違うようですが、
貴方がそれでいいのなら、それでいいでしょう。
0 にならないことは、示せていると思います。

ただし、「0 にならない」というのは、
「0 以外の何かになる」ということではなく、
「0 とするとうまくいかないが、
他の値でうまくいくかどうかは、また別の話」
という意味です。
所望の要件を満たす「0 の 0 乗」が存在しない
可能性は残っています。

それ以前に、「何を前提として」
0 にならないことを示したのかが、
(想像はできますが、)明確に書かれていません。
そこを明らかにしないと、何を証明したのかが
いまいちはっきりしません。


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