お菓子のおまけを２つずつ全て揃えるには？

http://www.fiberbit.net/user/kakuritsu/omake2.ht …

などで、次の問題に対する考察が書かれています。

問題： 今、あるお菓子のおまけを全種類揃えたい。
ところがこのおまけ、商品に附属していてどの種類のおまけが出るか買うまで分からない。
どの種類のおまけも等確率で出て、ハズレはないものとして、
全種類揃うまで商品を購入する回数の期待値を求めてください。
ただし、種類の数は2以上の自然数の範囲で、解答者にお任せします。

たとえば、３種類のおまけで、１種類ずつそろえるとします。
最初の１種類をそろえるのに、１つ買う必要あります。
次に購入するとき、２種類目である確率は、2/3だから、２種類目を集めるためには、期待値的に3/2個を購入する必要あります。
同様に、３種類目を集めるためには、期待値的に3個を購入する必要あります。
結局求める期待値は、1+3/2+3=3(1/3+1/2+1/3)個です。


では、２つずつそろえるための、回数の期待値は何回でしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2006/06/09 20:15

1番目のおまけをx個,2番目のまけをy個,3番目のおまけをz個集めるための期待値をE(x,y,z)とおきます。

この時,x,y,z≧1なら
E(x,y,z)=(1/3)E(x-1,y,z)+(1/3)E(x,y-1,z)+(1/3)E(x,y,z-1)+1
が成り立ちます。

x=0の場合には,E(x-1,y,z)の部分をE(0,y,z)とすればＯＫです。y=0,z=0の場合も同様です。

例えば、E(0,0,0)=0を初期条件として,この漸化式からE(2,2,2)を求めると37/4=9.25回になりそうです。(計算間違いをしてるかも)

この回答への補足

遅くなりすみません。
ややこしくてずっと考えています。

http://crafts.jp/~meantone/essey/complete.html

も参考にし、以下のような別の考えもいただきました。

全ｎ種類を2個ずつ揃えるのに、
1個足りないのがｖ種類あり2個足りないのがｗ種類ある状態から、
収集完了状態になるまでの試行回数の期待値をＥn(v,w)とすると、
以下が成立します。

Ｅn(0,0)=0
Ｅn(v,w)={ ｖ*Ｅn(v-1,w) + ｗ*Ｅn(v+1,w-1) + ｎ }/(ｖ+ｗ)

この漸化式を使って、Ｅn(0,n)を求めればよいですね。
ちなみに、Ｅ2(0,2)=11/2=5.5 。　(驚くことに Ｅ3(3,0) と一緒。)
あとは面倒なのでご自身で求めてください。

〔ＰＳ〕
既に確認済みの
Ｅn(v,0)=n{(1/1)+(1/2)+…+(1/v)}
Ｅn(0,1)=2*Ｅn(1,0)=2n
も、この漸化式から導けます。

補足日時：2006/09/21 14:31