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Y=sinX と Y=cosX (0<X<π)の交点ってどうすれば求められるんですか?

        答えは4/πとなります。

A 回答 (5件)

無関係者だけど一言(w



>>4の方へ
sin xとcos xを等式で繋いでるんだから、
複合同順とすれば問題はないんじゃないんですか?

2乗するとx=1/(root2), -1/(root2)が出て来ますが、
どのみちcos xにも当てはめて、
x=1/(root2)のみ適ということが求まりますし。
あと、先ほども言った通り、
sin xとcos xは複合同順で無いといけないということを用いると、
pi/2<x<piの範囲でsin x>0, cos x<0になるので、
最初から0<x<pi/2に範囲が限定されるという風にしてもいいですけどね。



解法についてはもう他の皆さんが行ったので、
視覚的に理解できる方法を一つ。

x-y座標平面上に単位円(原点を中心とする半径1の円)を描きます。
そして、x軸の正の範囲を始線として反時計回りに角度tとなるところに
端点を原点として半直線を引き、その半直線と単位縁との座標をPとします。

すると、sin tはPのy座標、cos tはPのx座標になります。
証明は簡単ですね、単位円は半径1だから、
あとは正弦、余弦の公式に当てはめれば。

ともかく、これで先ほどの問題を考えてみれば、
条件を満たす角度xは、
関数y=xと単位円との交点であるということが
視覚的によく分かりますね。

別にこの問題に限ったことではありませんが、
図形など幾何的な知識を要する問題は、
このようにして視覚的に理解できるのが面白いです。
ただ、4次元以上になると図の出番はありませんが(w
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先ほどは私も急いじゃいましたね・・・。


交点なので座標でしょ。
X=Π/4
Y=sinΠ/4=cosΠ/4=1/√2
よって
(Π/4、1/√2)です
Xの制限がない場合は
(Π/4±nΠ、1/√2)です。

気になったのですが・・・。
このXの範囲ではcosは負にもなります。
よって、断りなくいきなり2乗は絶対まずいです!
また、0<X<Πなので勘違いしている方もいますよ・・・。Π=180度です。
sin、cosをsinだけの式にするのは結構有効なのでぜひ覚えてくださいね!!!
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あらあら。


急いでるかと思いますが、問題と答えを書くなら正確に書きましょうよ。


>交点
交点のX座標ですか?Y座標ですか?それとも座標ですか?

sinX=cosXをとけばいいです。
両辺2乗して
six^2X=cos^2X
⇔six^2X=1-six^2X
⇔six^2X=1/2
0<X<πより
sixX=1/√2
⇔X=π/4
この時
Y=π/4
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交わる点のX座標は


sinX=cosX
を満たす。0<X<90度ではcosXは0でないから
両辺をcosXで割ると
tanX=1
これは直角2等辺三角形の場合ですよね。
だからX=45度=π/4
このときY=1/√2
これが求める交点の座標です。
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こんにちは!


直角三角形で、斜辺に対し、底辺と高さが同じという事だから45度(Π/4)は、わかるかな・・・?
(4/Πでなくて、Π/4の間違いだよね)

さて、解きますよ。
普通に sinX=cosXとします
sinX-cosX=0
√2sin(X-Π/4)=0 この変形大丈夫?
わからないときはまた質問してください!
0<X<Πより-Π/4<X-Π/4<3Π/4
よってsin(X-Π/4)=0
X-Π/4=0   sin0=0だからです!
すなわち、X=Π/4 となります

もし、0<X<Πがない場合(Xに制限がない場合)
sinA=0
A=nΠ (n=0、±1、±2・・・)
を使って
X-Π/4=nΠ (n=0、±1、±2・・・)
X=Π/4+nΠ (n=0、±1、±2・・・)となります。
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