Y=sinX と Y=cosX の交点

Y=sinX と Y=cosX　(0＜X＜π)の交点ってどうすれば求められるんですか？

　　　　　　　　答えは4/πとなります。

No.1 回答者： noname#7269 回答日時： 2002/02/19 13:05

こんにちは！

直角三角形で、斜辺に対し、底辺と高さが同じという事だから４５度（Π／４）は、わかるかな・・・？
（４／Πでなくて、Π／４の間違いだよね）

さて、解きますよ。
普通に　sinＸ＝cosＸとします
sinＸ－cosＸ＝０
√２sin（Ｘ－Π／４）＝０　この変形大丈夫？
わからないときはまた質問してください！
０＜Ｘ＜Πより－Π／４＜Ｘ－Π／４＜３Π／４
よってsin（Ｘ－Π／４）＝０
Ｘ－Π／４＝０　　　sin０＝０だからです！
すなわち、Ｘ＝Π／４　となります

もし、０＜Ｘ＜Πがない場合（Ｘに制限がない場合）
sinＡ＝０
Ａ＝ｎΠ　（ｎ＝０、±１、±２・・・）
を使って
Ｘ－Π／４＝ｎΠ　（ｎ＝０、±１、±２・・・）
Ｘ＝Π／４＋ｎΠ　（ｎ＝０、±１、±２・・・）となります。

No.2 回答者： naokt100sd 回答日時： 2002/02/19 13:06

交わる点のX座標は

sinX=cosX
を満たす。0<X<90度ではcosXは0でないから
両辺をcosXで割ると
tanX=1
これは直角２等辺三角形の場合ですよね。
だからX=45度=π/4
このときY=1/√2
これが求める交点の座標です。

No.3 回答者： zerosix 回答日時： 2002/02/19 13:09

あらあら。

急いでるかと思いますが、問題と答えを書くなら正確に書きましょうよ。


>交点
交点のX座標ですか？Y座標ですか？それとも座標ですか？

sinX=cosXをとけばいいです。
両辺2乗して
six^2X=cos^2X
⇔six^2X=1-six^2X
⇔six^2X=1/2
0＜X＜πより
sixX=1/√2
⇔X=π/4
この時
Y=π/4

No.4 回答者： noname#7269 回答日時： 2002/02/19 14:13

先ほどは私も急いじゃいましたね・・・。

交点なので座標でしょ。
Ｘ＝Π／４
Ｙ＝sinΠ／４＝cosΠ／４＝１／√２
よって
（Π／４、１／√２）です
Ｘの制限がない場合は
（Π／４±ｎΠ、１／√２）です。

気になったのですが・・・。
このＸの範囲ではcosは負にもなります。
よって、断りなくいきなり２乗は絶対まずいです！
また、０＜X＜Πなので勘違いしている方もいますよ・・・。Π＝１８０度です。
sin、cosをsinだけの式にするのは結構有効なのでぜひ覚えてくださいね！！！

No.5 回答者： NobNOVA 回答日時： 2002/02/20 03:32

無関係者だけど一言（ｗ

>>4の方へ
sin xとcos xを等式で繋いでるんだから、
複合同順とすれば問題はないんじゃないんですか？

2乗するとx=1/(root2), -1/(root2)が出て来ますが、
どのみちcos xにも当てはめて、
x=1/(root2)のみ適ということが求まりますし。
あと、先ほども言った通り、
sin xとcos xは複合同順で無いといけないということを用いると、
pi/2<x<piの範囲でsin x>0, cos x<0になるので、
最初から0<x<pi/2に範囲が限定されるという風にしてもいいですけどね。



解法についてはもう他の皆さんが行ったので、
視覚的に理解できる方法を一つ。

x-y座標平面上に単位円（原点を中心とする半径1の円）を描きます。
そして、x軸の正の範囲を始線として反時計回りに角度tとなるところに
端点を原点として半直線を引き、その半直線と単位縁との座標をPとします。

すると、sin tはPのy座標、cos tはPのx座標になります。
証明は簡単ですね、単位円は半径1だから、
あとは正弦、余弦の公式に当てはめれば。

ともかく、これで先ほどの問題を考えてみれば、
条件を満たす角度xは、
関数y=xと単位円との交点であるということが
視覚的によく分かりますね。

別にこの問題に限ったことではありませんが、
図形など幾何的な知識を要する問題は、
このようにして視覚的に理解できるのが面白いです。
ただ、4次元以上になると図の出番はありませんが（ｗ