底面の半径2cm、高さ4√2cmの円錐で、この円錐の側面積は、底面積の何倍かという問題で、母線の長さが6cmになって、そこから、
側面積=6ニ乗π×2π×2/2π×6 と解説にあるのですが、その式の意味が分かりません。公式のようなものがあるんでしょうか?
よろしくお願いします。

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円の面積」に関するQ&A: 欠円の面積

A 回答 (4件)

円錐の側面積は、側面を平面化した形、つまり扇形です。


扇形の面積は、同じ半径の円の面積を元に、その円の円周と扇形の弧の比率から求めることができます。(弧が円周の半分ならば、面積も半分になる)

円の面積は、π×6×6
円周の長さは、2π×6
弧の長さは、円錐の底面の円の円周で 2π×2

よって、扇形の面積は (6×6π)×((2π×2)/(2π×6))となります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
比で求めるやり方は、わかっていたのですが、側面の扇形の中心角でやるやり方しか知らなかったので、役に立ちました。

お礼日時:2002/02/21 23:53

 


  もう少し複雑な問題で、円錐の底面積と側面積の式を書いたのですが、次のようになっています:
 
>  1)
>  最初に、円錐の全表面積Sを求めます。Sは、側面部分の表面積S1と、底面の表面積S2の合計です。S=S1+S2 です。
>  
>  S2=πr^2
>  S1=π(r^2+h^2)X{2πr/2π√(r^2+h^2)}
>    =πr√(r^2+h^2)
>  S1は、円錐の曲がった部分で、展開すると大きな円の弧に応じた部分の面積です。大きな円の半径は、√(r^2+h^2)で、この弧の長さに当たるのが、2πrなのです。
>  
>  S=S1+S2=πr^2+πr√(r^2+h^2)
 
  これは、円錐の底面の半径をr、高さをhとした一般式です。
  S1が底面積で、S2が側面積です。
 
  側面積の計算の方法は、円錐を平面に展開すると、側面積に当たる部分は、大きな円のなかの弧になるのです。この大きな円は、母線を半径とする円で、そのなかで弧が切り取る部分が、側面積になるのです。
 
  ですから、大きな円の円周と、弧の長さを較べて、その比を、大きな円の面積にかけると、弧が造る円弧の面積つまり、円錐の側面積が出てくるのです。
 
  大きな円の半径は母線の長さで、6です。大きな円の円周は、2π*6です。弧の長さは、底面の円の円周になるので、2π*2です。この二つを較べると、(2π*2)/(2π*6) です。
 
  大きな円の面積は、母線を半径とする円の面積ですから、6*6*πとなるのです。これを続けて書くと:
 
  S2=(6*6*π)(2π*2)/(2π*6)

  となるということです。(前の引用の式は、rとhを使って複雑ですが、結局、こういう計算をしているのです)。
 

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=213318
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
わざわざ公式風にご説明してくださってありがとうございます。
一般式をたてるなんて、わたしにはとてもできない芸当なので、尊敬します!

お礼日時:2002/02/21 23:45

6^2×π×(2π×2)


--------------
2^2×π×(2π×6)

とやったのは、
6^2×π・・・母線長を半径とする円の面積
2π×6・・・母線長を半径とする円の円周
(2π×2/2π×6)・・・側面を切り開いた時の、扇形の中心角(360°中で占める割合9
2^2×π・・・底面の面積
を丁寧に書いたからです。丁寧すぎてかえってpe-さんを混乱させてしまったようですね。

円錐の側面積は、母線の長さ×底面の円周÷2、で求められます。なんとなれば側面を切り開き、さらに小さな扇形に分割して互い違いに組み合わせると

←-πr--→
△▽△▽△▽△ 高さは母線長と同じ

になりますので。
問題の比は単純に考えれば母線長をR、底面の半径をrとして
πRr/πr^2
ですから、R/rとなるだけのことです。
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この回答へのお礼

回答してくださってありがとうございました。
式の意味が理解できました。
>円錐の側面積は、母線の長さ×底面の円周÷2、で求められます
覚えておきますね。

お礼日時:2002/02/21 23:49

公式は


円周=直径(半径×2)×π
円面積=半径の二乗×π
直角三角形の斜辺の二乗=直角を挟む二辺の二乗の和(底辺の二乗+高さの二乗)

母線は第三公式から6cm、これが側面展開図形(円の一部)の半径
側面展開図形を含む円全部の面積は第二公式から
6の二乗×π
側面積が宛然部に対してどの程度の割合かは
円錐底面の円周/円全部の円周、つまり
2cm×2π/6cm×2π

このことから、側面積は宛然部の面積×円全部に占める割合であり、
6の二乗×π×(2π×2/2π×6)
と現わすことができる。

 



           
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。側面の扇形の中心角を求めてからやるやり方以外の方法が学べてよかったです。学校ではそれしかやらなかったので。
それでは、また機会があったらおねがいします。

お礼日時:2002/02/21 23:59

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参考URL:http://www.ait-sapporo.ac.jp/~shokunou/201_mono/menu/kadai2-2.pdf

Q高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の

高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の角度で交わる平面で
切断したとき、小さい方の体積を求めよ。

これを次のように考えましたが、答えとは異なるのですが、
考え方のどこが間違っているのか分かりません。考え方を示しますので
誤りをご指摘ください。
最初に切断したときの切り口をS1とする。
次に小さい方の体積を切り口S1に平行な平面で切った切り口をS2とする。
このとき、S1とS2は相似な図形だから、以下、S1に平行な平面で切った
切り口はすべて相似であることから、この切り口の面積を積分すると求める体積になると
思いました。
中心を通って、S1と45°になる直線をX軸にして、中心のX座標を0として、
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Aベストアンサー

>(1)簡単に相似でないと判断はできる方法は?

「すべての放物線は相似である」は正しいですが、放物線の一部だけを見た場合は相似とは限りません。
例えば、y=x^2とy=2x^2とは相似としていいですが、-1≦x≦1の区間だけにすると相似ではありません。
相似であると明確に証明できない限りはむやみに相似と判断しないことです。


(2)もし、相似だったら質問のような方法で積分してよいのでしようか?

(a-x)^2/2がどこからきたのかわかりませんが、相似でなくても考え方の方向は合ってます。

S1の面積をAとすると、これはx=0のときの面積だから、
x=tのときの面積は、縦方向に(a-t)/a倍、横方向に√(a^2-t^2)/a倍したものになります。
(x=0のとき1倍、x=aのとき0倍になる)

よって、求める体積は、

V=(√2/2)×A×∫[0~a]((a-x)/a)(√(a^2-x^2)/a)dx

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