だいぶ考えたんですけど、わからないんで解説付きで教えて下さい。
n次正方行列A,BがAB=BAを満たす時,次の事を証明せよ。
1)Aの固有ベクトルはBの固有ベクトルである。
2)ABとBAの固有値は等しい。
1)はまったくわからないんです。2)はABとBAは同じなんじゃないのかなって思うんですけど、違うんですかね?

A 回答 (2件)

1)は私も分かりません



2)「AとBがA・B=B・Aとは限らないn次正方行列であるときA・Bの固有値とB・Aの固有値は等しい」ことを証明せよ

証明:
・Aが正則であるとき
λを複素数の変数とする
(B・A-λ・E)=A^(-1)・(A・B-λ・E)・Aであるから
|B・A-λ・E|=|A|^(-1)・|A・B-λ・E|・|A|=|A・B-λ・E|
従ってA・Bの固有多項式とB・Aの固有多項式が一致するので明白
・Bが正則であるとき
同様に明白
・Aが正則でなくBが正則でないとき
|A・B-0・E|=|A・B|=0であるからA・Bは固有値0を持つ
|B・A-0・E|=|B・A|=0であるからB・Aは固有値0を持つ
すなわち0はA・Bの固有値であり0はB・Aの固有値である
λ(≠0)をA・Bの固有値としv(≠0)をλに対応する固有ベクトルとする
このとき(A・B)・v=λ・vである
B・v=0とするとv=(A・B)・v/λ=A・(B・v)/λ=0だからB・v≠0
一方(B・A)・(B・v)=B・((A・B)・v)=B・(λ・v)=λ・(B・v)
B・v≠0だからλはB・Aの固有値である
すなわちλがA・Bの固有値ならばλはB・Aの固有値である
同様にしてλがB・Aの固有値ならばλはA・Bの固有値である
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この回答へのお礼

わかりました。つまり、AB=BAでなくてもABとBAの固有値は等しくなるんですね。ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/03 11:24

1)について、ものすごく荒っぽい「式いじり」だけしてみました。

議論の詳細は私にはよくわかんないです。ごめんなさい。
もちろん、「自信なし」です。

Aの固有値aに対する固有ベクトルをvとおく。
すなわち、Av=av, v≠0
条件式の右からvをかけて、ABv=BAv=B(av)=aBv
これにより、BvはAの固有値aに対する固有ベクトルであるといえる?
(Bv≠0なら・・・)
すなわちBv=bvといえる?(Aの固有値が重解じゃなければ・・・固有値とその固有ベクトルは1対1対応してるんじゃないかと思うんですが・・・)
すなわちvはBの固有ベクトルでもある。■
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この回答へのお礼

ANo.#1をみると、Bv=0にはならないなので、BvはAの固有値aに対する固有ベクトルであるといえますよね。こういうやり方は思いつきませんでした、ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/03 11:36

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> 固有ベクトルとBの固有ベクトルを共通にとることができる。」
> 意味は
> 「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの
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exp(A)exp(B)
=E
+(A+B)
+(A^2/2!+AB+B^2/2!)
+(A^3/3!+A^2B/2!+AB^2/2!+B^3/3!)
+(A^4/4!+A^3B/3!+A^2B^2/2!2!+AB^3/3!+B^4/4!)
+…
=E
+(A+B)
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+(1/4!)(A+B)^4
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