シグマの計算について

n^2のシグマ公式についてお聞きしたいのですが、Σn^2=n(n+1)(2n+1) / 6 だとおもうのですが、Σn^2=Σ(n・n)と考えて、nのシグマ公式の２乗と考えて、{n(n+1) / 2}^2 だと公式の結果と違ってくるのはなぜなのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#6248 回答日時： 2002/03/04 12:53

Σ(n^2)と(Σn)^2は等しいですか？

Σ(n^2)＝(1^2)+(2^2)+(3^2)+…
(Σn)^2＝(1+2+3+…)^2
ぜんぜん違うと思うのですが…

この回答へのお礼

＞Σ(n^2)と(Σn)^2は等しいですか？
Σ(n^2)＝(1^2)+(2^2)+(3^2)+…
(Σn)^2＝(1+2+3+…)^2
ぜんぜん違うと思うのですが…

はい、ごもっともです。言われてみると、ああそうか！という感じがします。なるほど、そういうことだったんですね。C_ranさんどうもありがとうございました！

お礼日時：2002/03/05 09:22

No.4 回答者： kony0 回答日時： 2002/03/05 01:15

まったくの蛇足ですが。

。。
(Σn)^2 = Σn^3 がいえます。
んーっと、これは、たとえば、
{Σ(n+1)}^2 - (Σn)^2 = {Σ(n+1) + Σn} * {Σ(n+1) - Σn}
= {2*Σn + (n+1)} * (n+1)
= {n(n+1) + (n+1)} * (n+1) = (n+1)^3
という式を用いて、数学的帰納法で示せます。

s-wordさんの要求している回答とはまったく違った方向の話なので、回答に対する自信はなしとします。お茶濁しですみません。(^^;)

この回答へのお礼

kony0さんこんにちは。Σn^3 =(Σn)^2 のおかげで、覚える公式が一つ減るのでうれしいです(^^)。Σn^2 の公式は覚えるのにだいぶ苦労しました。Σn^3 =(Σn)^2 の公式は前に帰納法のセクションでやった覚えがあるので、比較的すっきりと頭に入ってきました。どうもお返事ありがとうございました。

お礼日時：2002/03/05 09:24

No.3 回答者： rei00 回答日時： 2002/03/04 15:27

　既に回答がある様に，『Σ(n^2) = (Σn)^2』とはなりません。

　具体的に簡単な例を見てみましょう。n = 2 までの和を考えてみると，

　Σ(n^2) = 1・1 + 2・2
　(Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1

　いかがですか，(Σn)^2 には Σ(n^2) の項以外に 1・2 や 2・1 の項が出てきます。これはどんなｎに対してもそうなります。したがって，Σ(n^2) ≠ (Σn)^2　です。

この回答へのお礼

＞Σ(n^2) = 1・1 + 2・2
　(Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1

rei00さんこんにちは。具体的に値を代入してみると、両者の式の違いが鮮明になりますね。とてもわかりやすかったです。これからこういうところで間違えないように特に気をつけをようと思います。

お礼日時：2002/03/05 09:23

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2002/03/04 14:08

Σn^2=Σ(n・n)

これに対して
Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn)
とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、
上の式は成立しません。

積ではなく、和ならば
Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn)
となるのですが。
　
残念ですね。

この回答へのお礼

＞Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn)
とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、
上の式は成立しません。

uyama33さんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn) の計算のように分割できるんじゃないかと思ったのですが、できないんですね。残念です。どうもありがとうございました。

お礼日時：2002/03/05 09:23