ニュートンの運動法則を変形すると、質量の時間微分が…

Question

ニュートンの運動の法則つまりＦ＝ｍａにおいて
ａ＝dv/dtですから、Ｆ＝ｍdv/dt
ここでｍは定数ですから、Ｆ＝d(mv)/dtと書けますよね。

ところで積の微分法則つまり、（ｘｙ）'＝ｘ'ｙ＋ｘｙ'　ってありますから、
Ｆ＝ｍ'ｖ＋ｍｖ'＝ｖdｍ/dt＋ｍdv/dt　となります。
このdｍ/dtは通常にはゼロですが、扱う対象が光だとか特殊な条件ではゼロではない、と思うのですが…。この解釈を教えて下さい。

grothendieck · Accepted Answer

質問された方がいわれる通り、運動方程式はＦ＝ｍdv/dtと書くより

　Ｆ＝d(mv)/dt　　
あるいは
　Ｆ＝dp/dt

と書いた方が一般的なのです。相対性理論はもとより、非相対論的古典力学においてもそうです。バークレー物理学コースに「ロケットは燃料を消費することにより質量が変化する。そのような場合は質量の時間微分を考慮しなければならない。」と書いてあったと思います。しかし実はそのような場合でなくても運動方程式は一般にはＦ＝dp/dtと書かなければならないのです。力学の一般的な定式化はニュートンの運動方程式ではなく、ハミルトン=ヤコービの理論、またはハミルトン形式で行われます。ハミルトン形式ではエネルギーを座標と運動量で表わしたものをハミルトニアンと呼び H で表わすと正準運動方程式は
　dp/dt = - ∂H/∂q
　dq/dt = ∂H/∂p
になります。すなわち、運動方程式は運動量の時間発展を与えるものであり、加速度の式になるとは限らないのです。最近は全て幾何学化するのが流行です。ハミルトン形式では質量にあたるものが計量テンソルになり、これは一般には定数ではなく座標の関数です。そのような例としては非線形シグマ模型が挙げられます。

参考URL：http://arxiv.org/abs/hep-th/0603240

KENZOU · Answer

例えば質量mが変化するロケットの運動なんかはdm/dtが効いてきますね。詳しいことは参考URLを覗いてみてください。

参考URL：http://www2s.biglobe.ne.jp/~ken-ishi/rockets.htm

Tacosan · Answer

それは議論がおかしいです. F = m dv/dt から「m が定数なので」F = d(mv)/dt としている以上, この式で m が時間変化するとしなおすのは変.
それはさておき, 特殊相対論では運動量 p = mv を使って dp/dt = F の形で使いますね.

N64 · Answer

Ｖ＝Ｃとし、Ｅ＝ｍＣ^2　を使ってｍを消去してみると、
Ｆ＝(１／Ｃ)×ｄＥ／ｄｔ　となりますが、だめですか？

kouryukaworu · Answer

そういった特殊な状況の際は、ニュートンの運動方程式自体が適用できません。
特に、例えば光の場合などは質量自体が無いですし、速度が高速に近い素粒子の系などでは相対性理論が効いてきます。
つまり、そこにニュートン力学の限界があったわけですね。

Wikipedia 特殊相対性理論
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
ここの「相対論的質量」の部分を読んでいただけると良いかと思います。

また、質量の無い素粒子における物理論として、量子力学が用いられます。
Wikidedia 光子
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%89%E5%AD%90

ニュートンの運動法則を変形すると、質量の時間微分が…

質問された方がいわれる通り、運動方程式はＦ＝ｍdv/dtと書くより

例えば質量mが変化するロケットの運動なんかはdm/dtが効いてきますね。

それは議論がおかしいです. F = m dv/dt から「m が定数なので」F = d(mv)/dt としている以上, この式で m が時間変化するとしなおすのは変.

Ｖ＝Ｃとし、Ｅ＝ｍＣ^2 を使ってｍを消去してみると、

そういった特殊な状況の際は、ニュートンの運動方程式自体が適用できません。

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