三次関数 logあり

底を「log_○ 真数」　の○の部分とします。
問題が
y=(log_2 x)^3 -log_2 x^3
(0<x≦2)の最大値を求めなさい。
　｛答えはx=1/2のとき最大値２　です。｝

前回質問したとき
みなさんの意見を参考にさせていただいて
log_2 xをtとおいてみて、
y=t^3 - 3tにたどりつきましたが、
試行錯誤しても答えにたどり着けません。

(1)→　　y=t(t-3/2)^2　- (9/4)t
(2)→　　y'=3t^2 -3
　　　 =3(t^2 -1)
　　　 =3(t+1)(t-1)・・・微分してます。

どっちも間違っているのでしょうか・・・
答えまで過程をアドバイスしてくれる方、
よろしくお願いします・・・。

No.6 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2006/09/01 11:24

基本的な事柄についてアドバイスをしておきます。

１．関数とグラフ、微分に関して

例えば

y=x^3-3x

という関数がある場合、最高次数が奇数で係数が正なので
この関数のグラフは左下から上がってきて右上に消えていく
グラフになる。さらに

y=x(x+√3)(x-√3)

と因数分解してみるとこの関数のグラフは-√3,0,√3で
x軸と交差する。

y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)

この関数のグラフは-1と1で山と谷ができている。
このグラフは左下から上がってきているので-1で山になり
1のところで谷になっている。

この情報を元にグラフを描いてみてください。x≦1を条件に
グラフを眺めれば最大値がx=-1のところにあることがすぐに
分かります。それをもとの数字に戻すだけです。


２．このサイトの使用について

以前、別の質問にさらに別の質問のことを聞いて
おられましたが(No.2362552)　それぞれの回答の左下に

補足する／お礼を言う

という青い字があると思います。これを押すと回答に対して
補足したりお礼を言えます。回答を読んで分からないときは
ここに説明のどこが分からないかを書けば対応してもらえて
このサイトをより有効に使えますよ。
(他の質問も読んでみましょう。皆さん、お礼や補足を
活用されています)

No.5 回答者： noname#21327 回答日時： 2006/08/31 23:07

失礼しました。

変曲点を極値点に訂正します。

No.4 回答者： postro 回答日時： 2006/08/31 12:17

＞(1)→　　y=t(t-3/2)^2　- (9/4)t

↑このアイデアでは答えにたどりつくのは難しい。
＞(2)→　　y'=3t^2 -3
＞　　　 =3(t^2 -1)
＞　　　 =3(t+1)(t-1)・・・微分してます。
↑このアイデアでいきましょう。
確認事項
log_2 x=t とおいたとき、x　の定義域は　0<x≦2　だから、t の値域は　t≦1 である。
手順
y=t^3 - 3t　の増減表を作り、それをもとに概略のグラフを描く。
増減表を作るために微分します。
y'=3(t+1)(t-1)
注意：この増減表とグラフは、　t≦1 の範囲だけが必要です。
増減表とグラフから　t=-1 のとき　yの最大値が２であることを読み取る。
log_2 x=t 　で、t=-1 とすると　log_2 x=-1 すなわち　x=1/2
つまり　「x=1/2　のとき最大値２」　が答えになる

No.3 回答者： masuda_takao 回答日時： 2006/08/31 08:03

　揚げ足取りで申し訳ないですが、f'(x) ＝ 0 となる x の値 a に対して、点 (a, f(a)) のことを変曲点とはいいません。

　高校の範囲を若干はみ出すことを承知で述べると、上記のような点を一般に停留点と呼び、その点を境に f'(x) の符号が変化している場合、これを極値点と呼びます。
　変曲点は f"(x) ＝ 0 であり且つその点を境に f'''(x) の符号が変わるような点のことであり、３次関数では常に１個あります。

　ほんの補足まで。

No.2 回答者： noname#21327 回答日時： 2006/08/31 01:45

y=f(t)とすると

f(t)=t^3-3t=t(t^2-3)=t(t-√3)(t+√3)
このグラフは、右上がりで変曲点２つの３次関数グラフになり、t=-√3,0,√3の３点でt軸と交わる。
t=log2 xなので、t=g(x)とおくと、このグラフは右上がりで上に凸、x=1でｘ軸と交わり、x→0でt→-∞
0<x≦2のときg(0)<t≦g(2)
つまり
-∞<t<1
すなわち、t<1でのf(t)の最大値を求めればいいです。
t<1<√3なので、最大値は上に凸の方の値です。
y'=f'(t)=3(t+1)(t-1)
f'(t)=0となる変曲点はt=-1,1
よって最大値の点はt=-1,y=f(-1)=2
t=g(x)=log2 x なので x=2^t
t=-1 のとき x=1/2

No.1 回答者： noname#147743 回答日時： 2006/08/31 01:18

最大値を求める問題なので、まずは極値を求める必要がありますね。

なので質問者さんが考えたように、微分するところまではいいと思います。
極値の条件は、その微分が0のところなので、その条件を式に立ててみてｔがどの値のときに極値を取るかを出してみてください。
ｔがいくつの時に極値を取るかわかれば、log_2 xをtとおいたので、同時にｘがいくつの時に極値を取るかわかりますね。
あとは、0<x≦2の領域の中で一番yが大きくなるときのｘを求めればよいと思います。