トランプでの確率

ここにジョーカーを除く52枚のトランプがあります。
この中から無作為に13枚選んで、同じ数字のカードが4枚含まれている可能性はどれくらいですか？

分かりやすく言うと、「大富豪」を4人でして革命が起こる確率です。


自分で問題を作ってみたはいいけど、答えが分からないので
教えてください。

No.8 回答者： INSEMINOID 回答日時： 2006/08/31 20:16

＞この中から無作為に13枚選んで、同じ数字のカードが4枚含まれている可能性はどれくらいですか？

包除原理を使って、同じ数字のカードが4枚含まれれることがないような
確率を求める。そしてそれを 1 から引く。

計算式と答えは、

1-(Σ[k=0～3]{(-1)^k*comb(52-4k,13-4k)*comb(13,k)})/comb(52,13)
=1357355571/39688347475.

No.7 回答者： age_momo 回答日時： 2006/08/31 18:18

#5です。

これを考える時にベン図を使って見ましょう。
URLを見てみてください。
中学生の時に習ったと思いますが、集合が2つの時や
3つの時は丸の中身を足してから共通部分を計算する
方法ができますが集合が13ある場合はベン図を書くだけでも
大変で、足してから後で引くより一つ一つの
部品で大きさを出して後で足す方が簡単です。

丸が3つ(A,B,C)がある集合のベン図で考えると
とりあえずイチョウ型の部分の大きさを求めて
3倍して次に砲弾型の部分の面積を求めて3倍して
最後に三角形部分の面積を足せば全体の面積になることが
わかります。
今、丸い円の大きさが48C9です。(仮にAとしておきます)
次に円盤型の部分の大きさが45C5となります。(B)
最後に膨らんだ三角部分が40C1ですね。(C)
ところで丸い円の周りには12個の円があって
その中には11個の三角形があることになります。
円の中で見るとこの三角形は12C2個あります。
ということで13倍する前にこれらを引くと

A-12(B-11C)-12C2*C

円盤(三角形を引いたので砲弾形)は全体で13C2あります。
これをかける前に三角部分を引いておく必要があります。
相変わらず一つの円盤には三角形が11個ありますので

B-11C

に13C2をかけて砲弾形の大きさは

13C2(B-11C)

最後にCを足せばいいです。ただし全体には13C3個あります。

全体を通すと

13{A-12(B-11C)-12C2*C}+13C2(B-11C)+13C3*C

となります。って先の回答、少し間違ってますね。
13*{48C9-12*(44C5-11*40C1)-12C2*40C1}+13C2*(44C5-11*40C1)+13C3*40C1
が正しいですね。3.42%は変わりませんが。。。

ところで4人の内誰かがフォーカードを持つ確率ですが
これまた正確ではないものの一人がフォーカードと
ならない確率0.9658を4乗して1から引いた方がより
真の値に近いように思います。(それぞれは独立していませんので
これも本当は正しくありません)
1-(1-0.0342)^4≒0.1299
13％ぐらいですね。

参考URL：http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …

No.6 回答者： laputart 回答日時： 2006/08/31 13:20

自分なりに計算しました。

全ての組合わせ　52C13 (Excelでは　Combin(52,13)です。
→635,013,559,600通り
次にエース　4枚の組合わせ
1通りx1通りx1通りx1通りx(残り48枚の中から９枚選ぶ）
→Combin(48,9)=1,677,106,640 通り
同様に2　４枚の場合 1,677,106,640 通り以下同様に
１３までを考えると　1,677,106,640 x 13通り→21,802,386,320通り
で互いにれぞれ背反である
よって確率は約3.43%となりました。

私も#2の方の計算の反証を３０分ほど考えましたが
最初の４枚で不成立であっても、５枚目移行で成立する場合が
あると気が付きました。それはこの52/52 × 3/51 × 2/50 × 1/49
の確率以外の場合です。
　

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。

分かりやすい解説ありがとうございました。

お礼日時：2006/08/31 15:11

No.5 回答者： age_momo 回答日時： 2006/08/31 12:57

ほぼ#3さんの回答でいいのですが、あるカードが4枚集まる場合の数を

計算して13倍すると2組のフォーカードがある場合の数、3組のフォーカードが
ある場合の数をそれぞれ2回、3回と別々に数えてしまいます。
つまり
A,A,A,A,2,2,2,2,4,5,6,7,8
という組み合わせは実際は1通りであるにも関わらずAでも2でも
数えられて2通りとして計算されてしまいます。
よってその分の調整をする必要があります。
(結果としては誤差程度の小さい差になると思いますが)

52枚のカードから13枚選ぶ場合の数(A)

A=52C13 ただし　nCr=n!/(n-r)!r!

少なくとも1組のフォーカードが含まれる場合の数

13*{48C9-12*(44C5-11*40C1)}+13C2*(44C5-11*40C1)+13C3*40C1
=13*48C9-13C2*44C5+4*13C3*40C1

確率としては

(13*48C9-13C2*44C5+4*13C3*40C1)/52C13≒0.0342

3.42%程度です。
なお、この計算は質問者さん一人にフォーカードがくる確率となります。


>下の二方の解答でも納得できちゃいます。
>どうにかならないでしょうか？

他の方の回答に対して色々書くのはマナー違反とは思うのですが。。。

#1さんの方法はサイコロなど何度出ても確率が変わらない場合に
使います。ところがカードを配る場合には一度ある数字がでて
しまうと残りは3枚になり確率が変化していきます。

#2さんの場合は最初に出た数字が4枚引いた時点で揃っている
確率です。第一に13枚引く間に出揃えばいいですし、
4枚揃う数字が一番最初に出てくる必要もありません。
その補正として13C4/20825 とすると#3さんと同じ結果になります。

なお、一人に来る確率に対して4をかけて誰か一人に来る
確率にはなりません。(大体の予想にはなると思いますが
真の値より大きな結果になります)
その場合は誰にもフォーカードが来ない確率を求めて
1から引く必要があります。

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。

けれども

>少なくとも1組のフォーカードが含まれる場合の数

13*{48C9-12*(44C5-11*40C1)}+13C2*(44C5-11*40C1)+13C3*40C1
=13*48C9-13C2*44C5+4*13C3*40C1

この式になぜなるのかがよく分からないので、
説明していただけるとありがたいです。

お礼日時：2006/08/31 15:11

No.4 回答者： maimait 回答日時： 2006/08/31 12:51

　こんにちは。

　考え方が正しいのはNo.3の方でしょうかね。
　ただし、その計算は「自分が革命を起こせる（同じ数のカードを４枚持つ）確率」と思います。もし、４人の誰かが起こせる確立ならその４倍になるのではないでしょうか。13.7％で、約７回に１度かな。

　質問者さんが悩んでいるようなので、他の解答のおかしい点を指摘しますと…

　No.1さんですが、単純に4枚のカードを4人に配るという着眼点はシンプルでしたが、、あるカードが配られた人に同じ数字のカードを再度配られる確率はその分低くなります。1枚目は誰でも確率は同じ1/4ですが、2枚目以降は既にカードを配られた人の受け皿は12枚分、11枚分と減ります。もらっていない人は13枚分のままですので、計算は(1/4)*(12/51)*(11/50)*(10/49)が妥当でしょうか。それを4倍と13倍すると上で書いた正しい答え（13.7%）になりそうです。

　No.2さんですが、式を見ますと、「(13枚配るが)最初に配られた4枚が同じ数」という計算式のように思います。5枚目以降13枚目まで配る部分は計算に関係ないので、約分されてしまっています。実際に「4枚配って4枚が同じ数」の確率を出す式は、1*(3/51)*(2/50)*(1/49)=1/20825、これが４人分で0.02％になっています。

　ただし、正解とした答えや計算も近似的なものになります。
　それは、２人以上が同時に革命を起こせるケースや、一人で２組以上の４枚揃いを持っているケースなどを考慮せず、別のケースとして重複して数えているからす。
　ただし、これらのケースは１人が１組だけ４枚揃っている場合に比べて、それなりに確率が低くなると予想できますので、「厳密にいえば間違いだがだいたいの確率としては先の計算の数値でもよい」としても問題ないかなと思います。

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。

これですっきりしました。

お礼日時：2006/08/31 15:07

No.3 回答者： jedimaster 回答日時： 2006/08/31 05:16

0.034333733493397358943577430972389

と出ました。
まず52枚から13枚を選ぶ場合の数ですが、これは
52*51*50*49*48*47*46*45*44*43*42*41*40を13の階乗で割って、
635013559600となります。…(1)

次に、仮に「A」4枚を必ず選ぶとして、残りの9枚を選ぶ方法は、
48*47*46*45*44*43*42*41*40を9の階乗で割って、
1677106640…(2)

実際には同じ4枚というのは「A」でなくてもよく、残る2～Kいずれ
でもよいので(2)を13倍すると、「同じ数字札4枚を選び残り9枚は
なんでもよいという場合の数」がでてきます。
これを(1)すなわち全体の数で割ると、冒頭の数字となります。

30回に1回、ですか。感覚的にはなんとなく合ってそうなのですが、
私は数学の専門家でもなんでもないので、自信なしとします。

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。

僕もこのような解答が出てきたのですが、
ほかの解答を否定することが出来ません。
下の二方の解答でも納得できちゃいます。

どうにかならないでしょうか？

お礼日時：2006/08/31 11:10

No.2 回答者： fender64 回答日時： 2006/08/31 04:42

大富豪のルールがわからないのすが、

＞無作為に13枚選んで、同じ数字のカードが4枚含まれている可能性

「同じ数字４枚含まれている」が１組以上ある確立は
52/52 × 3/51 × 2/50 × 1/49 × (48!-39!)/(48!-39!)=312/6497400 =1/20825
式の説明としては
「まずどれでもいい×残りの同じ数字は３枚×残り２枚×残り１枚×あとはなんでもいい」です。
４人のうち誰かがこの条件を満たせばよいのであれば
1/20825 + 1/20825 + 1/20825 + 1/20825 = 4/20825(約0.02％)

ルールがわからないので感覚的には自信ないのですが…。

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます。

0.02％は少し少なすぎる気もしますが
これといった否定も出来ません。
もう少し考えて見ます。

お礼日時：2006/08/31 11:28

No.1 回答者： mayan99 回答日時： 2006/08/31 02:06

一つの数字の４枚が一人に手中する確立は

1/4の４乗です。つまり1/256

札が１３種類で４人いるから
1/256*13*4＝13/64

約５回に１回ですね

あってるかな？

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます。

僕も最初はこの解答が出てきましたが
もっと複雑なような気がしてきて
分からなくなっています。

お礼日時：2006/08/31 11:30