No.4
- 回答日時:
>これから察するにθ+2nπのn=0の時の
arg(z) の値をArg(z)と書くことにすれば
principal logarithmは
log|z| + i Arg(z) の値と定義され、Log(z)と表す。
これでいいです。-Pi<Arg(z)<Piですね。
その例題から見るとprincipal logarithm
という言葉をa principal value of a logarithm
の意味で使っていると思います。
>principal valueは
e^Log(z)の値、言い換えれば、Log(z)の真数のn=0の時の値? つまりn=0の時のzの値??
これは違います。pricipal value という言葉は単独で定義されるものではなく、指数関数、対数関数、べき関数ともに用いられる言葉です。logのときはNo2で書きましたが、べき関数の場合はz^cという関数はz^c=e^(clogz) で定義される多価関数ですが、一価関数e^{cLogz}を主枝といい、主値とは主枝のzに値を代入したものです。指数関数c^zの場合は主枝e^{cLogz}のzに値を代入したものが主値です。
例題で考えますとi^iはz^iにz=iを代入したものと考えて、
(i^zにz=iを代入と考えても良い。)
z^iの主枝はe^{iLogz}でz=iを代入すると、e^(-Pi/2)となります。したがってi^iの主値はe^(-Pi/2)です。
もし対数関数の場合、logiの主値は
ときかれると、Pi/2となります。
たびたびスイマセン。
多価関数等の知識不足でかなり誤釈しているようです(私)。
> principal valueは
> e^Log(z)の値、言い換えれば、Log(z)の真数のn=0の時の値? つまりn=0の時のzの値??
よくよく考えるとこれは意味不明ですね(笑)。
再度、自分なりに要約しますと
複素数の複素数の冪について
z,w:複素数とする時、z^wのprincipal valueを
(z^wのprincipal value)=exp(wLog(z))
で定義する。
でいいですかね?
No.3
- 回答日時:
principal logarithmという用語はあまり、使わないと思います。
(principal value of a logarithmという言い方はありますが・・・)Log z = log|z| + i arg z (-π<arg z<π)
は普通、principal branch(主枝)または、principal value(主値)といいます。
>zそのものの値を、principal valueと定義されています。
これは違います。
ご回答有り難うございます。
とても参考になります。
その本には
[Example] What's the principal logarithm of (-e^2)i ?
[Solution]
Log(-e^2)i=log(e^2)+i(-π/2)=2-(π/2)i
[Example] What's the principal value of i^i ?
[Solution]
e^(iLog i)=e^(i(0+iπ/2))=e^(-π/2)=1/√(e^π)
となっています。
これから察するにθ+2nπのn=0の時の
arg(z) の値をArg(z)と書くことにすれば
principal logarithmは
log|z| + i Arg(z) の値と定義され、Log(z)と表す。
principal valueは
e^Log(z)の値、言い換えれば、Log(z)の真数のn=0の時の値? つまりn=0の時のzの値??
と考えますがこれで正しいのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
principal logarithm の日本語訳は対数の主枝(しゅし)
でいいとおもいます。
一般に多価関数F(z)に対し、ある領域で多数あるF(z)の値のうち一つを選び一価関数f(z)をつくり、f(z)が正則となるときf(z)を分枝といいます。
logzは多価関数で、Logz はlogzの分枝の一つですが、特別視して、とくに主枝といいます。Logzの定義域は複素平面から負の実数軸を除いた部分、Log z = log|z| + i arg z としたときargz のとる値は-Pi<argz <Pi です。
それから主値とはzの値ではなくて、zに具体的な数を代入したとき、主枝Logzのとる値のことです。
ご回答有り難うございます。
とても参考になります。
その本には
[Example] What's the principal logarithm of (-e^2)i ?
[Solution]
Log(-e^2)i=log(e^2)+i(-π/2)=2-(π/2)i
[Example] What's the principal value of i^i ?
[Solution]
e^(iLog i)=e^(i(0+iπ/2))=e^(-π/2)=1/√(e^π)
となっています。
これから察するにθ+2nπのn=0の時の
arg(z) の値をArg(z)と書くことにすれば
principal logarithmは
log|z| + i Arg(z) の値と定義され、Log(z)と表す。
principal valueは
e^Log(z)の値、言い換えれば、Log(z)の真数のn=0の時の値? つまりn=0の時のzの値??
と考えますがこれで正しいのでしょうか?
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