積分を微分

Question

ちょっとなんて表現すればいいのか分からなかったのでタイトルが変になってしまいましたが・・・（汗

関数f(x)=∫(t-x)sintdt　（積分区間は0からx）です

まず、dtとあるのでtについての積分だから、ｘは定数であるとみなせるから、ひとまず、分離する。
f(x)=∫tsintdt-x∫sintdt・・・（☆）
とまではできたのですが、この後が分かりません。
f'(x)=とするとd/dx∫～dt　という感じになると思いますけど、これって意味的には、積分するやつを微分するということだから、積分してあげて、微分すればいいんですよね？
初めの積分関数は部分積分法で(t^2/2)sintと中身を変形してからやってみると2回積分しなきゃいけない感じになってしまい・・・
けど答えを見ると（☆）の次のステップでは
f'(x)=xsinx-(∫sintdt+xsinx)
となっております。
いまいち理解できません・・・。積分して微分すんだから行って戻って±0　ってことは被積分関数に区間を0～xをそのまま代入しただけじゃん！だから[tsint](0～x)
により　xsinx　・・・っていう感じもしなくはないですが・・・　間違えですよね？
区間に0が入ってたからたまたまうまく行ったって感じもしますし・・・。
はっきり言うと、問題の意味自体、あまりよく分かっていません・・・なので質問内容も理解しかねる点があるかもしれませんが、よろしくおねがいします

chiropy · Accepted Answer

今高3の男子です。大学受験においては定積分関数の微分とでもいうのでしょうかね。
＞次のステップではf'(x)=xsinx-(∫sintdt+xsinx)が理解できない。

まず微分積分学の基本定理をご存知でしょうか？（分からなければ補足してください）ご存知なら
g(x)=∫tsintdt　[t=0～x]
→g'(x)=xsinx
は分かると思います。試験において「微分積分学の基本定理より」と一言明示すればつかっていいはずです。
分かりにくいのは
h(x)=x∫sintdt　[t=0～x]
の微分かと思われます。これはxと∫sintdt[t=0～x]の
積になっています。ここで注意してほしいのは定積分∫sintdt[t=0～x]がxの関数になるということです。つまりh(x)=x∫sintdt　[t=0～x]は(xの関数)×(xの関数)になっているのでh(x)を微分するときには積の微分法を使わなくてはならないということです。つまり
h(x)=x∫sintdt　[t=0～x]
h'(x)=(x)'∫sintdt[t=0～x]＋x{∫sintdt[t=0～x]}'
ここで右側の定積分の微分には微分積分学の基本定理が使えるので
h'(x)=x∫sintdt[t=0～x]＋xsinx
となるのです。
以上まとめると
f(x)=∫(t-x)sintdt[t=0～x]
f'(x)=xsinx-(∫sintdt[t=0～x]+xsinx)
となるのです。

ここは『微分積分学の基本定理』を知っているか否かが分かれ目ですね。普通に積分してから微分しても正しい答えは出ますが時間の無駄です。

chiropy · Answer

■微分積分学の基本定理
まず例題を見てください
g(x)=∫(3t^2+2)dt[t=0～x]とする時g'(x)を求めよ。
g(x)=[t^3+2t][t=0～x]
=x^3+2x-3
∴g'(x)=3x^2+2x
積分は微分の逆演算であるので結局元に戻っていると考えられます。ではもう少し詳しく見て見ましょう。
f(x)の原始関数をF(x)とし、3t^2+2t=f(t)とする。
g(x)=∫(3t^2+2)dt
=∫f(t)dt
=[F(t)]…t=0～x
=F(x)-F(0)
g'(x)=F'(x)-F'(0)
=f(x)  （F(0)は定数より微分すると0）

これを一般的にいうと
∫f(t)dt[t=(定数)～x]をxで微分
⇒f(x)
です。ここで注意しなければならないのは「被積分関数部分にxを含まない」ということです。
これをさらに一般化したものが
∫f(t)dt[t=h(x)～g(x)]をxで微分
⇒f(g(x))g'(x)-f(h(x))h'(x)
です。

もっと詳しくはNo.1,3の方が説明してくれています。
そもそも定積分計算の式を導いた過程で出てきます。高3の教科書には載っていると思います。（うちの教科書には載っています）
定積分計算の式とは
∫f(x)dx[x=a～b]＝F(b)-F(a)
のことです。

分かりにくかったらすいません。他の方の回答を参考にしてください。

stomachman · Answer

No.1へのコメントについてです。

> 難しくて理解できませんでした

　分かんなかったのは、分かるように説明しないのがいけないんですから、同じ事をもう一度ゆっくり説明してみます。（ところで、「積分区間は0からx」というのを、以下「t=0～x」と書く事にします。）

∫f(t) dt（t=a～x）

という定積分を、xだけを変数とする関数F(x)とみなす話です。

F(x) = ∫f(t) dt（t=a～x）

　関数F(x)を微分するというのは（微分法の定義として習った通り）

 F'(x) = lim (F(x+Δx) - F(x) )/Δx　　（ただしlimはΔx→0）

を計算するということです。
　F(x+Δx)は,F(x)のxの代わりにx+Δxを代入したものだから、

F(x+Δx) = ∫f(t) dt（t=a～x+Δx）

です。右辺の積分の範囲をa～xとx～x+Δxに分けてみると、

F(x+Δx) = ∫f(t) dt（t=a～x）+ ∫f(t) dt（t=x～x+Δx）

であるから、

F(x+Δx) - F(x) = ∫f(t) dt（t=x～x+Δx）

　となります。
　この右辺の積分を面積の計算と考えましょう。y = f(t) のグラフを描いて、t = xからx+Δxの部分の面積を求める。Δxがうんと小さい場合、高さがf(x)、幅がΔxの長方形の面積を計算すれば良いですね。（区分求積法をご存知ならすぐピンと来ると思うのですが。）
　だから、

Δx→0のとき、　F(x+Δx) - F(x) = f(x)Δx

従って、

lim (F(x+Δx) - F(x))/Δx = f(x)  （limはΔx→0）

です。ゆえに、

F'(x) = f(x)

となります。

zabuzaburo · Answer

部分積分がうまく行かないときは、
(諦める前に)組み合わせをひっくり返して試してみましょう。
t・sin t = (t^2 / 2)'・sint であると同時に、
t・sin t = (sin t)・t = (- cos t)'・t でもあります。
これで考えるとうまく不定積分が求まり、
結果は - t・(cos t) + (sin t) となります(確かめてみてください)。
0 から x までの定積分を計算すると - x・(cos x) + (sin x)、
これを x で微分すると x・(sin x) にきちんと戻ってきます。

この問題であればたまたま部分積分が可能なので、
f(x)自体を直接求めることができてしまうため、
> 積分してあげて、微分すればいいんですよね？
というPlz_teach_meさんの方法は全く正しいものです。
しかし、そこで追究を終えてしまっては、
ただの「積分して微分する計算練習」にすぎず、面白くありません。
(d / dx)[∫f(t)dt] = f(x) (積分区間は上端 x、下端は定数(何でもよい))
という等式の意味を理解することこそが重要であり、「微分積分の基本定理」と呼ばれます。
これは「微分と積分は『反対』なんだよね」という直感的な理解を
きちんとした形で記述したものです。
その本質的な説明がNo.1のご回答ですから、諦めずに突っ込んでみてください。
(とかstomachmanさんに断りもなく言ってみる(^^;))

debut · Answer

＞∫tsintdt-x∫sintdt(積分区間0-x)と変形して、
＞d/dt∫tsintdt＝xsinx d/dt∫sintdt=sinxであるから
＞xsinx-xsinx＝0　となってしまったのですが・・・。
　　x∫sintdt の部分の微分は積の微分なので、
　　(x)'*∫sintdt＋x*{∫sintdt}'=∫sintdt+xsinx と、∫sintdtが
　　ありますよ。
　　よって、f '(x)=-∫sintdt ですね。

debut · Answer

＞積分して微分すんだから行って戻って±0　ってことは被積分関数に区間
＞を0～xをそのまま代入しただけじゃん！だから[tsint](0～x)
＞により　xsinx　・・・っていう感じもしなくはないですが・・・
　　ちょっとニュアンスが違うような気もしますが・・
　　０は代入の必要はないです。正確にいえば、代入は積分のときなので
　　[tsint](0～x)で代入しているわけではないです。

　　積分の時点で定数を代入すれば、その部分は定数になります。
　　そして、また微分すれば結局その部分は０になります。
　　ということで、定数なら微分すれば０なので、積分区間の定数部分
　　が０でなくても大丈夫なのです。
　　簡単な例で
　　　　F(x)=∫tdt(区間3からｘまで)
　　　　　　=[1/2t^2](3からｘまで)
　　　　　　=1/2x^2-9/2
　　　よって、F '(x)=x

一般に a を定数とすれば、
　F(x)＝∫f(t)dt(積分区間aからx)　なら、F '(x)＝f(x)　です。

stomachman · Answer

微分の定義に戻って考えればどってことないです。

∫tsintdt（積分区間は0からx）をxで微分するってことは、Δx→0において

P = (∫tsintdt（積分区間は0からx+Δx） - ∫tsintdt（積分区間は0からx）) / Δx

がどうなるか、って話です。分子をまとめて

P = (∫tsintdt（積分区間はxからx+Δx）) / Δx

なんだから、Δx→0とすると（ここんとこ、y =tsintのグラフを描いてみれば分かりやすいでしょう）

P = (x sinx)Δx / Δx = x sinx

　また、x∫sintdt（積分区間は0からx）の微分は、「積の微分」を使い、あとは上記と同じ要領です。

積分を微分

今高3の男子です。

■微分積分学の基本定理

この回答への補足

No.1へのコメントについてです。

部分積分がうまく行かないときは、

＞∫tsintdt-x∫sintdt(積分区間0-x)と変形して、

＞積分して微分すんだから行って戻って±0 ってことは被積分関数に区間

この回答への補足

微分の定義に戻って考えればどってことないです。

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

今、見られている記事はコレ!

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

　No.1へのコメントについてです。

＞積分して微分すんだから行って戻って±0　ってことは被積分関数に区間

　微分の定義に戻って考えればどってことないです。