No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ピリオドグラムというのは,つまり,確率的な信号についての,FFTの平均値みたいなものです.
普通,信号解析をする場合,多かれ少なかれ,外部ノイズなどの確率的な現象を含む信号(時系列)を対象にしています.
なんでスペクトル解析なんかをするときにも,確率的な取り扱いが入ってきます.
例えば,なんかの観測を無限回,繰り返したとします.
1回目は,時系列 f1(t) を観測,
2回目は,時系列 f2(t) を観測,
…
f1(t),f2(t),…は,だいたい似ているわけですが,細かく見るとノイズなんかの影響でちょっとずつ異なります.
なんで,f1(t),f2(t),…をそれぞれ,フーリエ変換(あるいはFFT)したF1(ω),F2(ω),…もちょっとずつ違います.
で,ピリオドグラムというのは,こいつらの各ωごとの平均のことです.つまり
Periodogram(ω) = E[ Fn(ω) ]_{n=1,2,…}
です.(つまり.確率空間全体にわたる平均のこと)
あと,パワースペクトルというのもあります.これは Fn(ω)の絶対値の2乗の平均のことです.
信号解析では,各周波数成分ごとのパワーのほうに興味があることが多いので,こっちのほうがよく使われます.
つまり,
PowerSpectrum(ω)= E[ |Fn(ω)|^2 ]_{n=1,2,…}
です,(これも,ほんとは,確率空間全体にわたる平均のこと)
注意しないといけないのは,
PowerSpectrum(ω) ≠ |Periodogram(ω)|^2
ということです.これは,ある確率変数Xについて
E[X^2] ≠ (E[X])^2
てことを考えればわかりますね.
なんで,パワースペクトルを計算するには,普通は観測した時系列を直接FFTするのではなくて,
時系列の自己相関をとってそれをFFTします.(ウィーナー・ヒンチンの定理)
定義上は,各観測時系列直接FFTして,それぞれ絶対値の2乗を計算してから,平均すればいいわけですが,
これだと,収束性がものすごく悪いです.
かみくだいてご説明いただき,助かりました。
FFT とピリオドグラムとで結果を比較してみました。
たしかにピリオドグラムは,ノイズ成分が非常に少ない!
でも拾いたい(高次の)周波数まで,低減されてました(笑
今後,ピリオドグラムを使うことがあれば,活用したいです。
とてもよい勉強になり今後,ツールの一つとして覚えておきたいです。
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