![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67b6d)
1辺の長さが2の正四面体ABCDがある。Gを△BCDの重心、Hを△ACDの重心とし、直線AGとBHの交点をOとする。
(1)ベクトルAOをベクトルAB,AC、ADを用いて表せ
(2)AO+BO+CO+DO(ベクトル)を求めよ。
(3)点Pがこの四面体の面上を動くときAP^2+BP^2+CP^2+DP^2のとりうる値の範囲を求めよ
この問題に取り組んでいます
(1)はベクトルAO=1/4(AB+AC+AD)
(2)は0
となりました(自信なしです)
(3)がどのように考えればいいのかわからなくて困ってます。
AP^2+BP^2+CP^2+DP^2という長さが最大になるときと最小になるときはどのようなときなのでしょうか?
回答いただければありがたいです。
よろしくお願いします
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>AP^2+BP^2+CP^2+DP^2という長さが最大になるときと最小になるときはどのようなときなのでしょうか?
これがそれぞれのベクトルの内積と捉えれば内積も結合法則が成り立ちますから
AP^2=AP・AP=(AO+OP)・(AO+OP)=AO^2+OP^2+2AO・OP
(全てベクトルです) 同様にすると与式は
AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2+4OP^2+2OP・(AO+BO+CO+DO)
ここでAO+BO+CO+DO=0,AO^2+BO^2+CO^2+DO^2は定数になります。結局、4OP^2だけが
変数ですので最大値はOから最も離れた時:4つの頂点のどれかに来た時、
最小値は最も近づいた時:どれかの三角形の重心に来た時となります。
(それぞれ12と20/3かな)
No.1
- 回答日時:
>(3)がどのように考えればいいのかわからなくて困ってます。
点Pが4面のうちどの面にあってもAP^2+BP^2+CP^2+DP^2は同じことなので△BCD内または周の上にあるとする。
APベクトルを[AP]と書く
Pは△BCD内または周の上にあるので [AP]=m[AB]+n[AC]+(1-m-n)[AD] と書ける
ただし 0≦m, 0≦n, 0≦(1-m-n)
[BP]=[AP]-[AB]
[CP]=[AP]-[AC]
[DP]=[AP]-[AD]
|[BP]|^2=|[AP]|^2-2[AP]・[AB]+|[AB]|^2=|[AP]|^2-2[AP]・[AB]+4
ここで[AP]・[AB]=(m[AB]+n[AC]+(1-m-n)[AD] )・[AB]=2m+2 より
|[BP]|^2=|[AP]|^2-4m
同様に
[AP]・[AC]=2n+2
[AP]・[AD]=4-2m-2n
より
|[CP]|^2=|[AP]|^2-4n
|[DP]|^2=|[AP]|^2+4m+4n-4
よって
AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=4AP^2-4
この最大値はPが頂点B,C,Dに一致するとき、最小値はGと一致するとき
・・・・だと思う。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
- ・ゆるやかでぃべーと タイムマシンを破壊すべきか。
- ・「I love you」 をかっこよく翻訳してみてください
- ・歩いた自慢大会
- ・許せない心理テスト
- ・字面がカッコいい英単語
- ・昔のあなたへのアドバイス
- ・かっこよく答えてください!!
- ・あなたが好きな本屋さんを教えてください
- ・これ何て呼びますか Part2
- ・人生で一番思い出に残ってる靴
- ・ゆるやかでぃべーと すべての高校生はアルバイトをするべきだ。
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・単二電池
- ・チョコミントアイス
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
ベクトル
-
3次元空間での傾き、切片の求め方
-
解答に「∵ベクトルOA+ベクトル...
-
ベクトルの読み方
-
数学Ⅰ Ⅱ Ⅲ 以外に数学A B が有...
-
ベクトルについて。
-
LaTeX :黒板太字で 英小文字の...
-
ベクトル
-
△OAB において,辺 OA を 1 : 2...
-
位置ベクトルと有向線分の違い...
-
数B ベクトル この問題がわかり...
-
内心の位置ベクトル
-
数Ⅱ平面ベクトルです。 三角形A...
-
数Bベクトル 平行四辺形ABCDに...
-
2点と半径から、中心座標と円弧...
-
高校数学のベクトルのパラメー...
-
ベクトルの存在範囲に出てくるs...
-
曲率の求め方
-
数学(ベクトル) 正三角形の2辺...
-
線形数学です ベクトルの括弧?...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
解答に「∵ベクトルOA+ベクトル...
-
複素数平面での|x+yi|² におい...
-
位置ベクトルについて
-
図のようにベクトルはOA+ABのよ...
-
数学Ⅰ Ⅱ Ⅲ 以外に数学A B が有...
-
線形数学です ベクトルの括弧?...
-
お互いに垂直だが、接触せず距...
-
3次元空間での傾き、切片の求め方
-
線分ABを3:7に外分する点P
-
3つの線分は、同じ点で交わる...
-
ベクトルの読み方
-
高校数学のベクトルのパラメー...
-
曲率の求め方
-
(平面ベクトル) このbベクトル...
-
何故ベクトルの和の定義は↑AB+↑...
-
ゼロベクトルになる理由を教え...
-
△OAB において,辺 OA を 1 : 2...
-
ベクトルの大きさの最小値
-
正八角形のベクトル
-
アドミタンスのベクトル軌跡に...
おすすめ情報