図のようにベクトルはOA+ABのように繋がっている時"以外でも"すなわち、それぞれのベクトルが独立に

図のようにベクトルはOA+ABのように繋がっている時"以外でも"すなわち、それぞれのベクトルが独立に動くとき(1つを固定すると)終点と始点を強引に揃えることができる理由を論理的かつ明快に教えてください。また、そのような考え方を解説している動画をおしえていただきたいです

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/14 23:46

ベクトルは、平面内に置かれたひとつの矢印ではありません。

同じ方向と向きを持つ平面内の無数の矢印を
同一視して、ひとつのものと見たのが「ベクトル」です。
ベクトルは、平行移動することができるのではなく、
平行移動で重なる矢印どうしは、ひとつのベクトルの構成要素なのです。
ひとつのベクトルは、無限の矢印を集めたものです。
集められた矢印の中の1個を、そのベクトルの代表元として
図に書いたりします。

平面上に矢印の始点 (s,t) と終点 (u,v) をとると、
図に描かれた1個の矢印は、この２点の対 ((s,t),(u,v)) だと考えられます。
２つの矢印 ((s,t),(u,v)) と ((S,T),(U,V)) が同じベクトルを表す
ことを意味する関係 ≡ を
((s,t),(u,v)) ≡ ((S,T),(U,V)) 　⇔　u-s = U-S かつ v-t = V-T
で定義しましょう。 すると、この関係 ≡ は
((a,b),(c,d)) や ((A,B),(C,D)) が属する集合 R^4 上の同値関係になり、
商集合 (R^4)/≡ を考えることができるようになります。
この (R^4)/≡ が、実2次矢線ベクトルがなす集合です。

集合 (R^4)/≡ の上に、例えば (→OA) + (→AB) = (→OB) のような
好ましい性質を満たすように + などの演算を定義してゆくことによって、
中学の教科書などで見慣れた矢線ベクトルの世界が構成されるのです。

以上のような込み入った話を、中学の教科書は
「平行移動で重なるベクトルは同じものとみなす」の
ひとことで済ませていますが、その字間行間を開いて埋めれば
このようなことになるのです。

ベクトルとベクトルの和を考えるときは、個々の矢印どうしの和ではなく
ベクトル全体としての和を考えるので、それぞれのベクトルの中から
終点と始点が重なっているような矢印どうしを取り出して、
(→OA) + (→AB) = (→OB) のような計算を行えば、
得られた →OB が、和となるベクトルに属する矢印になっています。