外積(a×b)が右ねじを回す方向というのはどうやって示すのでしょうか?
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa482563.html
のNo7さんが少しそのことに触れているのですが、よく分かりませんでした。
一般的に示せる方はいらっしゃいますか?
よろしくお願いします。
A 回答 (6件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.6
- 回答日時:
#5 です.訂正&補足します.
●訂正
誤:座標系が右手系であれば,ey×ez に対する右ねじの向きはexです.
正:座標系が右手系であれば,eyからez方向の回転に対する右ねじの向きはexです.
誤:もし座標系が左手系であれば,ey×ez に対するexは左ねじの向きになりますが,
正:もし座標系が左手系であれば,eyからez方向の回転に対するexは左ねじの向きになりますが,
●補足
> 「右/左」の概念は,外積の定義式の中に含まれているわけではありません.
> 座標系 (座標軸) の取り方によって決まります.
> 「外積は右ねじ方向」というのは,座標系が右手系だからそうなります.
> 座標系を左手系にすれば,外積の計算式 (座標成分の値) はそのままで,
> 「外積は左ねじ方向」を向きます.
もし,↑がわかりにくければ,簡単な具体例で考えてみてください.
(1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1)
つまり ex × ey = ez ですね.
右手系では,+X方向から+Y方向への回転に対して,
+Z方向は右ねじの向きになっています.
したがって外積は右ねじの向きです.
しかし左手系では,+X方向から+Y方向への回転に対して,
+Z方向は左ねじの向きになっています.
したがって外積は左ねじの向きになります.
No.5
- 回答日時:
ひょっとしたらポイントを外しているかもしれませんが…
「右/左」の概念は,外積の定義式の中に含まれているわけではありません.
座標系 (座標軸) の取り方によって決まります.
「外積は右ねじ方向」というのは,座標系が右手系だからそうなります.
座標系を左手系にすれば,外積の計算式 (座標成分の値) はそのままで,
「外積は左ねじ方向」を向きます.
(このように,座標系の向きに応じてそれが表す向きが反転するベクトルを
「擬ベクトル」または「軸性ベクトル」といいます.)
擬ベクトル (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%93%AC%E3%83%99% …
i番目の座標軸方向の単位ベクトルを ei (i=x,y,z) とすると,
a=Σ(ai * ei),b=Σ(bi * ei) です.
a×bがa,b双方について線形ということを納得しているのなら,
a×b = Σ(i)Σ(j) (ai * bj) (ei×ej)
ei×ej=-ej×ei (したがって ei×ei=0) なので,
a×b = ΣΣ(i<j) (ai * bj - aj * bi) (ei×ej)
ここまでは「右/左」の概念は入っていないことに注意してください.
一応3次元として計算していますが,実はここまでは3次元でなくてもかまいません.
上の最後の式を3次元の場合について書き下すと次のようになります.
a×b = (ay * bz - az * by) (ey×ez)
+ (az * bx - ax * bz) (ez×ex)
+ (ax * by - ay * bx) (ex×ey)
さて,ここで外積に「右ねじの向き」を入れます.
座標系が右手系であれば,ey×ez に対する右ねじの向きはexです.
あとの2つについても同様なので,
ey×ez=ex,
ez×ex=ey,
ex×ey=ez.
∴a×b = (ay * bz - az * by) ex
+ (az * bx - ax * bz) ey
+ (ax * by - ay * bx) ez
これを成分で書くと,
a×b = (ay * bz - az * by, az * bx - ax * bz, ax * by - ay * bx).
もし座標系が左手系であれば,ey×ez に対するexは左ねじの向きになりますが,
座標成分は同じです.
… という説明でどうでしょうか?
外積について (高校生のための微分幾何)
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/whats% …
2次元ベクトルの外積の効用 (線形代数学の教科内容の改善に向けて)
http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa …
3点の座標から簡単に回転方向を判別する.(2次元,外積を用いる方法)
・N次元の外積,擬ベクトル
http://www5d.biglobe.ne.jp/~noocyte/Programming/ …
No.4
- 回答日時:
No.2です
「向き」ということをどのように定義するかが重要なのです.
定義なしに数学で証明することはできません.
「向き」の定義を一般的に行うのは厄介です
そもそも向きが決められないケース(メビウスの帯など)も
あります.
実三次元の場合,同一平面上にない三つのベクトルa,b,cの
向きが「右ねじ」であることをどう定義するかですが
これは(a b c) (a,b,cの各ベクトルの成分からなる行列)の
行列式が正になるというのが一番シンプルな定義だと思われます.
実はこれはn次元でも同じです
しかし,これがなぜ「向き」を定めるのかというのが
直観では分かりにくいのです.
・向きは二種類しかない
・軸の順番を一個変えると逆向きになる
・向きが変わると(符号付の)面積・体積の符号が変わる
などということと,1,2次元の場合からの類推で
行列式でこのように向きを決めることの
妥当性がみえてきます.
1次元のとき:
原点から1に向かう方を「正」としましょう(いわゆる「右向き」).
そして線分の(符号付)長さを考えます.
例えば,0から10に向かう向きは「正」です.
またこのとき,0から10への長さは「向き」を考慮して「10」です.
つぎに,10から0へ向かう向きを考えます.
これは0から-10へ向かうのと同じです.
0から10への向きから0から-10へと向かう向きへの変換は
-1を掛け算することです.
これの「行列式」は -1 で負.
これは向きを変えることを表すとみなせます.
またこの逆向きを基準にすれば,0から10への長さは「-10」です.
二次元の場合:
(1,0)(0,1)による向きがいわゆる「正」の向きです.
例えば,(-1,0)(0,-1)は「正の向き」でしょうか?
図を描けば分かりますが,これは「正」です
このとき,変換行列
-1 0
0 -1
の行列式を考えてください.
(0.1)(1,0)は「正の向き」でしょうか?
今度は「負」です.これも行列式
0 1
1 0
を考えてください.
いろいろなケースで図を描きながら
正の向きか負の向きかと行列式の正負を
比べれば理解できると思います.
同様に三次元でも計算すれば同じ状況なのが見えてきます.
再度回答どうもありがとうございます。
私が当初思っていたより難しく、またたくさんの回答が寄せられて理解するのに少し時間が掛かりそうです。今日、明日とじっくり考えてからまたコメントを掲載します。
さしあたり回答のお礼のみを申し上げます。
どうもありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
ちゃんとした回答ではないかも知れませんが、
簡単な例なら、極座標を使ってしめせますよ。
a=(r1cosθ1,r1sinθ1,0)
b=(r2cosθ2,r2sinθ2,0)
a×b=(0,0,(r1cosθ1 r2sinθ2- r1sinθ1 r2 cosθ2))
=(0,0,r1r2 (sinθ2cosθ1-cosθ2sinθ1))
=(0,0,r1r2 sin(θ2-θ1))
よってbがaに対し右ねじを回す方向にいたらa×bは正
bがaに対し左ねじを回す方向にいたらa×bは負
になります。
回答どうもありがとうございます。
私が当初思っていたより難しそうで理解するのに少し時間が掛かりそうです。今日、明日とじっくり考えてからまたコメントを掲載します。
さしあたり回答のお礼のみを申し上げます。
どうもありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
外積は
aとbに同時に同時に直交するので
a,b,a x b は必ず基底になります
もちろんa,bは一次独立と仮定します.
そして,右ねじの代表格は標準基底
だから,標準基底からa,b,a x b への基底変換行列が
向きを変えないことをいえばいいわけで,
それはすなわち,det (a b a x b) > 0 ってことです.
#計算してないけど(^^;;
この回答への補足
回答どうもありがとうございます。
すみません、
「だから,標準基底からa,b,a x b への基底変換行列が
向きを変えないことをいえばいいわけで,
それはすなわち,det (a b a x b) > 0 ってことです.」
ここの記述が分からないのですが、高校レベルでの証明はやはり無理なのでしょうか・・・。
No.1
- 回答日時:
この回答への補足
説明不足ですみません。
「(aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)が右ねじを回す向きであることはどのように示すのか」という意味です。
よろしくお願いします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 方程式の証明 5 2022/05/12 09:29
- 物理学 面積速度一定の法則を(1/2)r v sinθを使って証明する方法 2 2023/06/25 12:43
- 車検・修理・メンテナンス 左右一割はみ出し積載OKになりましたよね?一割までは合法なんだから対向車に文句を言われる筋合いないで 7 2023/05/19 07:56
- 事故 どっちが悪いの?これは右直事故?割合は? 片側一車線の信号のある交差点でA車は右折待ちをしています。 3 2022/05/23 14:35
- 日本語 問題: A:トイレにだれ___いませんか。その2 1 2023/03/12 22:01
- 数学 『弧は弦より長し』 8 2022/04/18 10:23
- Excel(エクセル) 指定した条件でTRANSPOSE関数を使う 5 2023/08/18 19:45
- 物理学 半径aの円形コイルが、水平方向を向いた一様な磁束密度Bの中につるされている、コイルの面とBが平行にな 3 2023/05/02 01:23
- 物理学 高校 物理 なめらかな床の上に物体Bがありその上に物体Aがあります。 AとBの間はあらく水平です。 2 2023/01/03 23:34
- 野球 野球。内外野の中継プレイの野手のポジショニングについて 4 2022/07/09 18:48
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
座標空間について、点Pの座標を...
-
右下の小さい数字について
-
2点を通る半径rの円の中心の座標
-
「原点に返る」と「原点に戻る...
-
AB=2である2定点A、Bに対して...
-
写真の問題の(2)の別解について...
-
座標のS/I方向について
-
生データーからのグラフから関...
-
この解説の(5)が分かりません...
-
Excelで、任意の座標が属するセ...
-
楕円の角度とは?
-
二次関数の平行移動のマイナス...
-
座標(x,y)間(=2点)の...
-
高校数学 <ベクトルと空間図形>
-
数学の質問です 原点0から出発...
-
数3の曲線の媒介変数って結局何...
-
4次元、5、6、7、8、9次...
-
重分積分の極座標変換について
-
多角形の中心点の座標の求め方
-
数学の問題がわかりません。(球...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
座標(x,y)間(=2点)の...
-
「原点に返る」と「原点に戻る...
-
距離と方向角から座標を求める...
-
右下の小さい数字について
-
なぜベクトルの外積の向きが右...
-
距離、方位角から座標を求める方法
-
重分積分の極座標変換について
-
測量座標と算数座標の違い
-
2022年 東京理科大 難易度判定
-
楕円の円周上の座標を求める計...
-
2次関数y=ax^2のグラフは点A(4,...
-
エクセルでグラフの作り方 軌...
-
N点間の中心と重心の求め方
-
複素数平面と座標平面の対応に...
-
楕円の角度とは?
-
等角螺旋(らせん)の3次元的...
-
「0でない2つのVのベクトルu,v...
-
【数学】 解説の下から4行目が...
-
座標値 世界測地系と日本測地系...
-
座標を入力すると角度を得られ...
おすすめ情報