No.3ベストアンサー
- 回答日時:
No.2 さんの表記にあわせると
質問者さんの疑問は
x = x_0 + a(1 - cosθ)
y = y_0 + a(θ - sinθ)
の x_0, y_0 が 0 と出来るのはなぜか,
ということですかね?
上のようにすると
dx/dθ = a*sinθ
dy/dθ = a*(1 - cosθ)
となるので,
dy/dx
= (dy/dθ)/(dx/dθ)
= (1 - cosθ)/sinθ
= √{(x - x_0)/(2a - x - x_0)} …(1)
が得られます.
一方で,
F = √{(1+y'^2)/(2gx)}
として,
d/dx(∂F/∂y')-∂F/∂y = 0
を解くと
d/dx{y'/√(x(1 + y'^2))} = 0
つまり
y'/√(x(1 + y'^2)) = c (c は定数)
が得られ,この式を変形すると
y' = √{x/(1/c^2 - x)} …(2)
となります.
(1)式と(2)式を比較すると
x_0 = 0
c = 1/√(2a)
となっていることがわかると思います.
すると,原点では θ = 0 となっているので y_0 = 0 も決定します.
つまり,高い方の位置が視点となっています.
回答ありがとうございます。
>質問者さんの疑問は x = x_0 + a(1 - cosθ) y = y_0 + a(θ - sinθ) の x_0, y_0 が 0 と出来るのはなぜか,ということですかね?
最初はその書き換えが理解できませんでしたが、そういうことを言いたかったような気がします。
同じ高さ(x軸上のx1,x2)の2点を結ぶサイクロイドは、始点をx1の左上に変えれば、無数にあるわけですから、高さが違う場合も、高い方の位置のさらに、グラフの左上に始点を持ったサイクロイドがあったっていいのではないかと思ったわけです。
No.2
- 回答日時:
サイクロイド曲線は円が直線上(曲線上)を転がるとき、円周の1点は描く軌跡のことですね。
>2点間を結ぶサイクロイドは無限にあるわけです
サイクロイド曲線の性質からして、決められた2点間を結ぶサイクロイドは一つしかありません。
>初期条件で、始点はわかるんのですが、終点をどのようにすればいいか、わかりません。
ちょっと問題を解きながら考えてみましょう。計算の細かな点は省略しますので、テキストで補完してください。下方にx軸、水平方向にy軸をとり、曲線の線素をdsとすると ds=√(dx^2+dy^2)=√(1+y'^2)dx
で、質点の速さは v=√2gx=ds/dt。 これから dt=ds/√2gx=√{(1+y'^2)/2gx} 。質点が点A(0,0)から点B(x1,y1)に到達する所要時間をTとすると T=∫[0,x1]dt=∫[0,x1]√{(1+y'^2)/2gx}dx
F=√{(1+y'^2)/2gx}として、求める曲線はEuler方程式 d/dx(∂F/∂y')-∂F/∂y=0を解けばよいことになります。具体的に計算を進めると
y'=±√{c1・x/(1-c1・x)}=±√{x/(2a-x)}、2a=1/c1、c1:積分定数
ここでx=a(1-cosθ)と置き換え、変数をxからθに変換すると
dy/dθ=a(1-cosθ)⇒y=a(θ-sinθ)+c2
ここで始点Aの座標が活躍します。すなわち、c2は初期値x=0,y=0、このときθ=0を上の式に代入するとc2=0と求まります。次に終点B(x1,y1)はaを求めるのに必要となってきます。
この回答への補足
>サイクロイド曲線の性質からして、決められた2点間を結ぶサイクロイドは一つしかありません。
様々なサイズのサイクロイド曲線を思い浮かべ、平行移動させても、一つの曲線しか、ある2点にを通るものは無いのでしょうか?つまり、どちらの点もサイクロイド曲線の途中になるようにすれば、無数にあるような気がするんですが、いかがでしょうか?高い方の位置を始点にするから、1本に決まるようなきがするんです。
No.1
- 回答日時:
>始点(初速0の所)を決めれば、終点を通るサイクロイドは、一つに決まるのでしょうか。
そうですね。必然的に一つに決定されます。普通、サイクロイドは角度θを媒介変数として採用します。たとえば、x=a(θ-sin θ),y=a(1-cos θ)の式でaの値が決まれば、サイクロイド曲線の形は決定します。aの値を決めるためには、終点の座標が分かればよいのです。分かりやすく云えば、サイクロイドの式x=a(θ-sin θ),y=a(1-cos θ)から、θを消去して、y=f(x,a)となったとき、終点の座標値をy=f(x,a)に代入すれば、原理的にはaを求めることできますよね。
> サイクロイドとして、降下時間を求め、それが最小となるように係数?を求めればいいのかとも思います。
変分法で、降下時間が最小となるように求めた曲線がサイクロイドだということが分かったのですから、あとは、サイクロイドの式に初期条件(始点の座標値、終点の座標値)を代入すればよいだけの話です。
回答ありがとうございます。
サイクロイドを変分法で求める過程で、始点の条件を加味してあるということでしょうか。ですから、終点を代入すればよいということでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- バイク免許・教習所 まだ教習通う前ですが、バイクに乗る上での注意点をまとめてみました。間違ってる箇所や、他の項目・アドバ 5 2022/04/27 19:44
- 物理学 社会問題でサイクロイド曲線を使って解決できそうなものはありますか? 3 2023/07/12 15:27
- 経済学 サイクロイド曲線の課題研究をしていますが... 3 2023/07/12 15:19
- 物理学 動き続けたときの双子のパラドックス。 12 2023/02/02 17:29
- 物理学 写真の(2)の問題についてですが、 赤線枠の解答の1行目に、等温線(点線)を〜と書いてあるのですが、 4 2022/12/08 06:45
- 数学 条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件 3 2023/05/15 21:38
- 物理学 物理の質問です。 地面より9.8mの高さから小球を速さ3.0m/sで水平に なげだした。 投げ出した 5 2022/06/27 02:56
- 地図・道路 関西エリアの高速道路に詳しい方に質問があります 2 2022/10/02 13:56
- 画像編集・動画編集・音楽編集 Google Earth Pro 高速道路上空を一定の速度で飛ぶツアー動画の作り方は?? 1 2022/06/01 15:10
- 高校 物理の問題です。 2 2022/07/10 19:00
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
標的への斜方投射
-
-cosθがsin(θ-π/2)になる理由が...
-
電磁気の問題です
-
なぜ、θが微小なとき、tanθ≒θと...
-
格子定数の求め方,近似について
-
楕円振動の問題です
-
有限長ソレノイドコイルの中心...
-
中が中空の球の慣性モーメント...
-
【数学】梯子の角度はハシゴの...
-
大気の光学的厚さ(深さ)の計算
-
毛細管現象と表面張力について
-
文字説明になってしまうのです...
-
この問題を教えてください。(電...
-
合力の求め方
-
外挿法について
-
円錐の微小面積を教えて下さい。
-
くさび状態の2物体間のすべりの...
-
高校物理の問題について質問で...
-
重心について
-
材料力学のトラスの問題です
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
電磁気の問題です
-
なぜ、θが微小なとき、tanθ≒θと...
-
アインシュタインの縮約記法
-
機械設計のねじ
-
中が中空の球の慣性モーメント...
-
有限長ソレノイドコイルの中心...
-
-cosθがsin(θ-π/2)になる理由が...
-
高校物理の質問です。 【問題】...
-
標的への斜方投射
-
【数学】梯子の角度はハシゴの...
-
√3sinX−cosX≦√3 (0≦θ≦2π) のと...
-
太陽光の反射角の計算
-
くさび状態の2物体間のすべりの...
-
sinとcosの使い分けの仕方を教...
-
この問題を教えてください。(電...
-
フーリエ級数展開をExcelのFFT...
-
なぜsinθはθに近似できるのです...
-
変位と速度
-
格子定数の求め方,近似について
-
矩形波duty比を変えた場合のフ...
おすすめ情報