統計の基礎的な問題です。

こんにちは。
統計学の質問なのですが、当方まだ初学者であるために解けない問題があるので、よろしくお願いします。

問題は次の通りです。

「１日に不良品が５パーセントの割合で生産される生産ラインがある。ある日の生産品５個をチェックした時に不良品が２個含まれている理論確率を求めよ。」

となっています。実際には統計の問題なのでこの先はエクセルの乱数シミュレーションなどを用いて実験確率を求めます。しかし理論確率が出せないので前途多難という感じなのです。

簡単すぎる質問で恐縮ですがよろしくお願いいたします。

No.1 回答者： finneganswake 回答日時： 2007/02/14 09:14

１００個作るって置き換えると簡単だと思う。

１００個作ると５個不良品があるわけだ。この１００個から５個を選ぶ方法は、100Ｃ5（コンビネーションね。）通り。
この中に２個特定の不良が含まれるパターンは、2Ｃ5×3Ｃ95（ここが難しいかしら？不良５個のうち２個選ぶのと正常品９５個のうち３個選ぶものの組み合わせ。）
なので、確率は2Ｃ5×3Ｃ95÷100Ｃ5で合ってると思う。0.18385かな。
そういう勉強をするとき１個含まれる確率なんかから考えるといいよ。

コンビネーションがわからない場合はそこから勉強したほうがいい。

No.2 回答者： age_momo 回答日時： 2007/02/14 09:59

5個の中に含まれる不良品の数Xは2項分布に従います。

P(X=2)=C[5,2]0.05^2*0.95^3=0.021434375

約2%と分かります。

なお、C[n,r]=n!/r!(n-r)!です。

No.3 回答者： killer_7 回答日時： 2007/02/15 00:50

回答が割れてしまっているのでコメントします．

結論から言うと，#1さんの回答が誤りで，#2さんの回答が正答です．

問題のように
> 「１日に不良品が５パーセントの割合で生産される生産ラインがある。
> ある日の生産品５個をチェックした時に不良品が２個含まれている理論確率を求めよ。」
と言ったときには，
「5個の品物を選ぶときに，どのように選んでも，ある1つの品物が不良である確率は5%で一定」
であると読みます．
つまり，例えば5個を選ぶときに1つずつ選んでゆくとすると，
初めの1個が不良品であるかどうかにかかわらず，つぎの1個が不良品である確率は5%, そのつぎも5%, ・・・
のように，「不良品をとる確率はつねに5%」であると仮定されていると解釈します．

したがって，#2さんの回答のように，
統計の言葉で言うと2項分布にしたがいます．
2項分布と言われて分からなければ，統計の教科書を読み直すか，
あるいは2項分布という言葉は使われていませんが高校の教科書を読むとよいでしょう．

さて，これに対して，#1さんの回答では不良品をとる確率が一定（5%）ではありません．
実際，上と同様に1つずつ商品を選んでゆくとしましょう．
このとき，もし初めの1つで不良品を取ったとすると，2個めに不良品を取る確率は，残り99個の品のうち4個が不良だから
4/99≒0.0404
です．一方，初めの1個が良品であれば，2個目が不良品である確率は
5/99≒0/0505
となります．このように，不良品をとる確率が5%で一定でないため，
#1さんの仮定「品物は100個である」は，問題設定に対して不適切です．
事実，品物が80個であると仮定すると，不良品は4個しかありませんから，
5個すべてが不良品である確率は0になってしまいます．
実際には0.05*0.05*0.05*0.05*0.05という低い確率ではありますが，
全てが不良品であるという確率は0ではありませんから，この80個という選択は誤りです．
このことからも，「100個」などというように勝手に品物の総数を仮定してはならないことが分かると思います．

ちなみに，品物の総数を勝手に決める場合に，十分大きな数に設定すれば，真の確率に近づきます．

個数　　 確率
　100　　0.018384853
　500　　0.020861541
1000 　 0.021150163
5000 　 0.021377882
10000　　0.021406150
真の解 　0.021434375

ただしいくら個数を大きくとっても厳密に一致することはないし，
そもそも真の解を知らないといくつに設定すればよいのか分かりませんから，
勝手に個数を設定するという方法はあまりお勧めできません．

No.4 回答者： finneganswake 回答日時： 2007/02/15 15:07

No.1です。

おお、本当だ。
ごめん。

つまり１００個とったとき不良は５個かも知れないし、６個かも知れないってことですね。
No.3さんのいってる通りです。
私のは、常に５個だものな。