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黄チャートIIIの19番の問題です。
【問】
a,b,c,dは定数でa≠0またはb≠0とする。
f(x)=cx+d/ax+bが逆関数をもち、それがもとの関数と一致する為の条件を求めよ。
【解】
(1)a≠0のとき
  『省略』
(2)a=0のとき
b≠0であるから、y=cx+d/b・・・(5)
(5)が逆関数をもつための条件はc≠0で、このとき
ad-bc=-bc≠0が成り立つ。
   『以下省略』
(1),(2)から求める条件は
ad-bc≠0,b+c=0またはa=d=0,b=c≠0

とあるのですが、「このときad-bc=-bc≠0が成り立つ。」という記述は(1)の逆関数が成り立つときの条件からきてるとおもうのですが、これって記述しないとだめなのでしょうか?
その記述の次は省略しましたが、-bc≠0を使用する所はありませんでしたし、この条件は(2)では必要ないような気がするのですが。。
もし必要などうしてなのでしょうか?

A 回答 (2件)

#1です。



>(2)の逆関数の条件ってc≠0だけではだめなのでしょうか。?

どうも、No1の回答は質問を勘違いしていましたね。すみません。
この問題の場合はa=0,b≠0が前提ですから特に必要ないと思います。
c≠0が逆行列を持つ条件でいいです。

解答がad-bc≠0にこだわっているのはこの形式の関数が逆関数を持つには
係数行列

|c d|
|a b|

が正則であることが前提ということが良く知られているからだと思います。
(正則⇔ad-bc≠0)

参考URL:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/m …
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>「このときad-bc=-bc≠0が成り立つ。

」って記述しないとだめなのでしょうか?
>-bc≠0を使用する所はありませんでした

両方合わせて記述しているのだと思います。
(1)a≠0 
ad-bc≠0 
(2)a=0
bc≠0 ⇔ ad-bc≠0

要はaの値がいくつでも

ad-bc≠0 

が成立している必要があるということです。
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この回答へのお礼

回答ありかとうございます。
でも、(2)の逆関数の条件ってc≠0だけではだめなのでしょうか。?

お礼日時:2007/02/17 09:09

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Q逆関数を持つための条件について質問

a,b,cが定数で、y=(bx+c)/(x+a)が逆関数を持つ条件を述べよとあるのですが、解答はc-ab≠0とだけ書いてあるのですが、x+a≠0はなぜ必要ないのでしょうか?

Aベストアンサー

こんばんわ。

関数の定義域の話とごっちゃになっているようですね。^^

・x+ a≠ 0
これは関数 (bx+ c)/(x+ a)が値をもつために必要な条件ですね。
もう少し言い換えれば、x≠ -aという x(定義域)に対する条件です。
逆関数が存在することとは、別の話ですね。

・問題を解く上で
すでに関数として定義されているので、x+ a≠ 0はありきでスタートしても構いません。
逆関数の求め方は x=・・・の形にすることなので、
「この形に変形できる」ための条件を述べることになります。
一次方程式の解の存在条件を考えることになりますね。

Q逆関数の求め方

f(x)=x^2の逆関数って
どう計算したらy=√xになるんですか?

計算過程を教えてください!
答えが合わなくて困ってます。

Aベストアンサー

もう良い回答が出ていますが。
この問題には2点ポイントがあります。

まず、
f(x)=x^2
Y=x^2
ですよね。
ここでYに初期条件が出てきます。
Y=x^2なのでY≧0という条件が手に入ります。
問題文にx、Yは実数だという条件が通常はあるハズです。

この初期条件を見落とさないという感覚は意外と身に付かず
東大に合格する学生でも秋ぐらいまで、できない事も多いです。
繰り返し問題を解くことでこの感覚は身に付きますので、頑張ってください。
この問題の難しいポイントはここにあります。
あとは機械的に解くだけです。

逆関数はx、Yを逆に書いて解けば良いので
x=Y^2 Y=±√x
これと初期条件Y≧0より
Y=√xとなります。


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