単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射　全射　全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が５つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれＮ，Ｚ，Ｒとする。

(1)f:Z→N　f(x)=x2（二乗）
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗）
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3（三乗）
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば　
Zが１のとき、Ｎは１、Zが２のとき、Ｎは４という風にＺが決定すればＮはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Ｚが２のときは、Zは１とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： sacra_sak 回答日時： 2007/02/17 14:48

(1) f: Z→N, f(x) = x^2

　x = 1，-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから，単射ではありません．
　また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません．
　
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
　f(x) は単調増加ですから単射といえましょう．つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし，f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません．
　また全射ではありません．R への写像となっていますが，f(x) = 0 や負になるような x がないからです．
　
(3) f: R→R, f(x) = sin x
　sin x は周期関数ですから，たとえば x = 0，π，2π，... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります．だから単射ではありません．
　また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから，R の上に全射でもありません．
　
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
　f(x) が単調増加ですから単射です．つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません．
　また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません．
　
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
　全単射です．f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です．

この回答へのお礼

この場を借りてみなさんにお礼を申し上げます。

非常に参考になりました。
ありがとうございました。

良回答には、それぞれの解答を教えてくださったsacra_sak様。
次点は先着で付けさせていただきます。

お礼日時：2007/02/18 15:44

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/02/17 09:03

定義と用語をきちんと確認してください．

＞Zが１のとき、Ｎは１、Zが２のとき、Ｎは４という風にＺが決定すればＮはただひとつ必ず決まるから

ZやN，Rは集合です．自分でそうかいてますよね
それが1とかになるはずがないのです
「Zの一つの元1に対して」などというのが普通で
そうでないと意味が通じません
（これくらいの内容ならすぐ察しがつきますが
ややこしい文脈だと意味不明になります）．

No.1さんご指摘すみですが，
写像というものの定義自体が
定義域の元一個に対して値域の元「一個」を定めるというものなので
書かれていることはまったく意味をなしませんし，
「全射」についても意味不明です．

単射というのは，ぶっちゃけていうと
「違う元は違う元に写像される」という意味です．
つまり，だから「単」なのです．

全射というのは
「値域の全部の元は，かならず定義域の元の像になる」
ということで「全」なのです．

全単射というのは「単射」かつ「全射」のことです．

繰り返しますが教科書をよく読んで
適切な「言葉」を用いてください．
単射・全射を表す模式的な図が書いてませんか？

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/02/17 08:30

教科書を開いて、それぞれの用語の定義を読んでください。

そして、(1)～(5) がたとえば「単射」の定義に当てはまるかをひとつずつ確認すれば理解が深まるでしょう。

ちなみに、「Ｚが決定すればＮはただひとつ必ず決まる」は「写像」そのものの定義で、すべての前提です。