いろいろ考えてみたのですが、なかなかしっくりした回答に行き着きません。ご助力をお願いします。
下記、質問内容。
ある長方形ABCDがある。この長方形の面積をS1、辺の長さの総和をL1とする。
この長方形の一辺の長さをa1とおくと、その他の辺b1を(L-2a1)/2と置くことができる。
従ってこの長方形ABCDの面積Sは
S1(a1)=a1*b1=a1{(L-2a1)/2}
=-(a-1/4L)^2-1/16L^2 とできる。
また、辺の長さの総和Lは
L1=2(a1+b1)=2{a1+(L-2a1)/2} とできる。
ここで長方形A'B'C'D'を置き、上記と同じように変数を設定する。
面積:S2
辺の長さの総和:L2 一辺の長さ:a2 もう一辺の長さ:b2
この2つの長方形の面積S1とS2の値が等しく、辺の長さの総和L1とL2とが等しくなるようなa1,b1,a2,b2の組み合わせは?
というものです。
つまり、a1+b1=a2+b2 ・・・(1)
a1*b1=a2*b2 ・・・(2)
上記二つの条件を満たす自然数a1,b1,a2,b2を求めよ。という事だと思います。一般式または解法などございますか?
(例)(a1,b2)(b2,b2) (6,9)(7,8)
よろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
a1+b1=a2+b2、a1*b1=a2*b2だと、
x^2-(a1+b1)x+a1*b1=0・・・(1)
x^2-(a2+b2)x+a2*b2=0・・・(2)
は同じ方程式。解は重複度を含めて2個しかない。
(1)の解はa1,b1、(2)の解はa2,b2
同じ方程式の解なので、a1=a2,b1=b2またはa1=b2,b1=a2
なので、条件を満たすのは(a,b),(b,a)のように、順番を
入れ替えたものしかない。
したがって、本質的に1個しかない。
すなわち、足して同じ、掛けて同じになる数の組は、同じ2次方程式
の解として規定される。
これは自然数に限ったことではない。
なるほど、しっくりきました。
ご指摘のように
x^2-(a1+b1)x+a1*b1=0・・・(1)
x^2-(a2+b2)x+a2*b2=0・・・(2)
と考えれば確かに順序違いの1つの解に限定されますね。
本当にわかりやすかったです。
大変ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
No. 1 のものですが、補足(修正)しておきます。
> xy = S (一定)という条件の下で、x+y = L となるような x, y を求めよ。
ここの L は4辺の和の半分だと解釈して下さい。L を L/2 と書き換えても良いのですが、与えられた4辺の和を最初に2で割った値だと思う方が簡単です。
この回答への補足
設問がわかりにくいのが問題なんでしょうね・・・。
あと私が掛け算できないこととか(汗)・・・。
長方形とかは忘れてください。ごめんなさい。
設問をまとめなおします。
Q
次の式を満たす自然数a1、b1、a2、b2をすべて求めなさい。
ただし(0<a1,a2,b1,b2<1000)。
また存在しない場合、それを証明しなさい。
a1+b1=a2+b2 ・・・(1)
a1*b1=a2*b2 ・・・(2)
これでどうでしょうか?
No.1
- 回答日時:
まず
> また、辺の長さの総和Lは
> L1=2(a1+b1)=2{a1+(L-2a1)/2} とできる。
この式は無意味です。右辺を簡単にすれば L1 になるので、L1 = L1 という当たり前のことを言っているだけです。
変数名を少し変えて、長方形の2辺を x, y とします。
するとご質問は(暫く自然数の条件は忘れます)
xy = S (一定)という条件の下で、x+y = L となるような x, y を求めよ。
という問題になります。
xy = S (x, y > 0)は第一象限にある双曲線です。x+y = L は x軸と -45度をなす直線です。したがって、x≧√S のときに双曲線と直線は交わり、その交点の座標 (x, y) が解となります。交点は x > √S のとき2個ありますが、x と y を入れ替えただけです。(x = √S のときは重根。)
結局、S, L が与えられたとき x(L-x) = S という2次方程式を解けば答えが出ます(虚根のときは解がありません)。その解が自然数になるときが答えで、二つの解が出ますが、x, y を入れ替えただけです。
この回答への補足
早速のご回答ありがとうございます。
質問わかりにくくてすみません。
>>xy = S (x, y > 0)は第一象限にある双曲線です。x+y = L は x軸と -45度をなす直線です。したがって、x≧√S のときに双曲線と直線は交わり、その交点の座標 (x, y) が解となります。交点は x > √S のとき2個ありますが、x と y を入れ替えただけです。(x = √S のときは重根。)
ここのいいたい事はよくわかるのですが、それでは2条件を満たす数のパッケージ(?)はわからないのではないでしょうか?
仮にS=54 L=30を代入してご指摘の式に当てはめてみると、
x^2-30x+54=0となります。
これを解くと、x=-15±3√19 となってしまいます。(間違っているかも)
しかし、S=54 L=30を満たすのは実際には
(6,9)(7,8)があるわけです。
また、そのとき方ですと解が順序逆の解しか出ませんので
その条件を満たす数の組み合わせは常に2通りしかないという結論になるのではないでしょうか?
混乱してきました・・・・。
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