長方形の面積と辺の総和の関係について

いろいろ考えてみたのですが、なかなかしっくりした回答に行き着きません。ご助力をお願いします。
下記、質問内容。

ある長方形ABCDがある。この長方形の面積をS1、辺の長さの総和をL1とする。
この長方形の一辺の長さをa1とおくと、その他の辺b1を(L-2a1)/2と置くことができる。
従ってこの長方形ABCDの面積Sは　
S1(a1)=a1*b1=a1{(L-2a1)/2}
=-(a-1/4L)^2-1/16L^2　とできる。
また、辺の長さの総和Lは
L1=2(a1+b1)=2{a1+(L-2a1)/2} とできる。

ここで長方形A'B'C'D'を置き、上記と同じように変数を設定する。
面積:S2
辺の長さの総和:L2 一辺の長さ:a2 もう一辺の長さ:b2

この２つの長方形の面積S1とS2の値が等しく、辺の長さの総和L1とL2とが等しくなるようなa1,b1,a2,b2の組み合わせは？
というものです。

つまり、a1+b1=a2+b2 ・・・(1)
a1*b1=a2*b2 ・・・(2)
上記二つの条件を満たす自然数a1,b1,a2,b2を求めよ。という事だと思います。一般式または解法などございますか？
（例）(a1,b2)(b2,b2) (6,9)(7,8)

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/02/24 21:46

a1+b1=a2+b2、a1*b1=a2*b2だと、

x^2-(a1+b1)x+a1*b1=0・・・(1)
x^2-(a2+b2)x+a2*b2=0・・・(2)
は同じ方程式。解は重複度を含めて２個しかない。
(1)の解はa1,b1、(2)の解はa2,b2
同じ方程式の解なので、a1=a2,b1=b2またはa1=b2,b1=a2
なので、条件を満たすのは(a,b),(b,a)のように、順番を
入れ替えたものしかない。
したがって、本質的に１個しかない。

すなわち、足して同じ、掛けて同じになる数の組は、同じ２次方程式
の解として規定される。

これは自然数に限ったことではない。

この回答へのお礼

なるほど、しっくりきました。
ご指摘のように　
x^2-(a1+b1)x+a1*b1=0・・・(1)
x^2-(a2+b2)x+a2*b2=0・・・(2)
と考えれば確かに順序違いの１つの解に限定されますね。

本当にわかりやすかったです。
大変ありがとうございました。

お礼日時：2007/02/25 14:06

No.3 回答者： zk43 回答日時： 2007/02/24 19:51

6×9=54、7×8=56ですが

この回答への補足

ほ、ホントだ・・・(汗汗)

補足日時：2007/02/24 19:56

No.2 回答者： tatsumi01 回答日時： 2007/02/24 18:59

No. 1 のものですが、補足（修正）しておきます。

> xy = S （一定）という条件の下で、x+y = L となるような x, y を求めよ。
ここの L は４辺の和の半分だと解釈して下さい。L を L/2 と書き換えても良いのですが、与えられた４辺の和を最初に２で割った値だと思う方が簡単です。

この回答への補足

設問がわかりにくいのが問題なんでしょうね・・・。
あと私が掛け算できないこととか（汗）・・・。

長方形とかは忘れてください。ごめんなさい。
設問をまとめなおします。

Q
次の式を満たす自然数a1、b1、a2、b2をすべて求めなさい。
ただし（0<a1,a2,b1,b2<1000)。
また存在しない場合、それを証明しなさい。

a1+b1=a2+b2 ・・・(1)
a1*b1=a2*b2 ・・・(2)

これでどうでしょうか？

補足日時：2007/02/24 19:57

No.1 回答者： tatsumi01 回答日時： 2007/02/24 18:43

まず

> また、辺の長さの総和Lは
> L1=2(a1+b1)=2{a1+(L-2a1)/2} とできる。
この式は無意味です。右辺を簡単にすれば L1 になるので、L1 = L1 という当たり前のことを言っているだけです。

変数名を少し変えて、長方形の２辺を x, y とします。
するとご質問は（暫く自然数の条件は忘れます）
xy = S （一定）という条件の下で、x+y = L となるような x, y を求めよ。
という問題になります。
xy = S （x, y > 0）は第一象限にある双曲線です。x+y = L は x軸と -45度をなす直線です。したがって、x≧√S のときに双曲線と直線は交わり、その交点の座標 (x, y) が解となります。交点は　x > √S のとき２個ありますが、x と y を入れ替えただけです。（x = √S のときは重根。）

結局、S, L が与えられたとき x(L-x) = S という２次方程式を解けば答えが出ます（虚根のときは解がありません）。その解が自然数になるときが答えで、二つの解が出ますが、x, y を入れ替えただけです。

この回答への補足

早速のご回答ありがとうございます。
質問わかりにくくてすみません。

＞＞xy = S （x, y > 0）は第一象限にある双曲線です。x+y = L は x軸と -45度をなす直線です。したがって、x≧√S のときに双曲線と直線は交わり、その交点の座標 (x, y) が解となります。交点は　x > √S のとき２個ありますが、x と y を入れ替えただけです。（x = √S のときは重根。）

ここのいいたい事はよくわかるのですが、それでは2条件を満たす数のパッケージ（？）はわからないのではないでしょうか？
仮にS=５４　L=３０を代入してご指摘の式に当てはめてみると、
x^2-30x+54＝０となります。
これを解くと、x=-15±３√19 となってしまいます。（間違っているかも）
しかし、S=５４　L=３０を満たすのは実際には
(６，９）（７，８）があるわけです。
また、そのとき方ですと解が順序逆の解しか出ませんので
その条件を満たす数の組み合わせは常に２通りしかないという結論になるのではないでしょうか？

混乱してきました・・・・。

補足日時：2007/02/24 18:55