P^3=8 の P=2 以外の実数解をなぜ考慮する必要があるのでしょうか

数学Ⅱの微分の範囲です。数研出版の４STEP　411番から引用しています。
---------------------------------------------------
　　Y=X^3+A*X+2 が Y=9X-14 に接するように、定数Aの値を定めよ。
---------------------------------------------------
（あえて小文字ではなく大文字にしています。）
という問題を解いたのですが、
　　F(X)=X^3+A*X+2
　　G(X)=9X-14
とおくと、
　　F'(X)=3X^2+A
　　G'(X)=9
ですから、以下のように進めました。
接点のX座標をPとします。
☆から★までは読み飛ばしてくださっても影響ないかも知れないと思っています。
☆---------------------------------------------------
　　F(P)=P^3+A*P+2　　・・・(1)
　　G(P)=9P-14 　　　　　・・・(2)
　　F'(P)=3P^2+A　　　　・・・(3)
　　G'(P)=9　　　　　　　・・・(4)
接点における傾きは等しいから
　　3P^2+A=9　　　　　より
　　A=9-3P^2　　　　　　・・・(5)
(1)に代入して
　　F(P)=P^3+(9-3P^2)P+2　　・・・(1')
接点のY座標は等しいから
　　P^3+(9-3P^2)P+2=9P-14
整理して
　　P^3-8=0 　　　　　・・・(6)
---------------------------------------------------★

ここからが質問です。問題集の解答でもここまでは同じです。
私は、
　　P^3=8 の解（実数解）は P=2 である　・・・(7)
ことが一瞬で導けますから、あとは(5)に代入するだけで終わりだと思ったのですが、
解答ではわざわざ式(6)を因数分解して、
　　(P-2)(P^2+2P+4)=0　　　　　・・・(8)
　　P^2+2P+4=(P+1)^2+3>0　　・・・(9)　より、(8)の解は P=2
としているのですが、
P=2 以外に P^2+2P+4=0 が実数解を持つか持たないか　なぜわざわざ遠回りする必要があるのでしょうか。
似たような解答が他の問題でもありました。

(7)のように　P^3=8 と見たら P=2 と即答　するというのは、まだ他の解に対する考慮が足りないのですか？
座標平面の問題だから、Pは実数範囲でのみ考えれば良いと思いますし、
単調増加関数　Q=P^3 のグラフと、Q=8 の交点は、一点のみであることもすぐにわかりそう（式(9)のような不等式を立てるまでもない）
と思います。

因数分解する必然性を教えてください。よろしくお願いいたします。

No.10 ベストアンサー 回答者： m-jiro 回答日時： 2016/02/10 22:14

＃８です。

>　式を解く際には虚数まで含めて解の存在を考える必要がある、という解釈で合っていますでしょうか。
そのとおりです。
虚数であるかどうかは重要ではなく、他の解の有無と、問題の答として適したものかどうかを考慮が必要です。

>　P^3=8 の解（実数解）は P=2 である　・・・(7)
もしP^3=8の解が複数の実数解を持っていたならどうでしょう？
その実数解の１つは書いてありますが、他の解は書いてないですね。実数解は１つしかないことを書かねばなりません。(7)の書き方では実数解が複数あるようにも解釈できます。
「実数解はＰ＝２が１つだけである」、あるいは「他の解はすべて虚数」と書けばほぼ正解。
「ほぼ」というのはなぜ他の解が虚数になるかの証明がないから。その証明である(8)(9)式を書けば満点です。

ずいぶん屁理屈と思うでしょう。揚げ足取りとも思うでしょう。誰から何を言われようと一分の隙もないようにせねばならないのです。後から弁解はできません。小生数学は好きです。おもしろいですね。

この回答へのお礼

永らくお付き合いありがとうございます。

屁理屈とも揚げ足取りとも思ってはいません。
ただ、X＾3＝1000　の場合に、X＝10　以外の解を検証しないといけない　ことまでは頭では「確かに」と思っていても、
X＝10　がすぐに見つかることと、X=10　以外を探す、ということのギャップを感覚的に飲み込めずにいるだけです。「中学生だったら解けない問題なんだな」ということを納得するまでに時間がかかりそうです。

後は私自身の問題かも知れません。同じ疑問を感じる人が他にもいると思いたいですが・・・。ありがとうございます。

お礼日時：2016/02/13 11:47

No.12 回答者： m-jiro 回答日時： 2016/02/14 22:57

＃１０です。

私が中学生のころのこと、数学の先生のことば。「数学の問題はグッと睨んで第六感で答を出してよろしい。ただしそれが正解であることと、他に正解がないことが証明できること｣。
答を見つけることも重要ですが、その他には答がないということも重要なのです。
意地の悪い先生は簡単に見つからない、もうひとつの答を正解にしていることがあります。落とし穴に落ちないようにしましょう。
あなたは中学生のようですが虚数（複素数）は習いましたか？
まだだったら　P^2+2P+4=0　は解けないですね。だったら「解けない」ということがわかるまではやりましょう。
要するに見落としをして欲しくないのです。つまらない見落としで減点、なんて泣くに泣けません。
質問文の（８）（９）式は見落としを確認するためのもの。
（９）の解が虚数かどうかはわからなくても「まだ解き方を習っていない」「解けない」がわかれば当面はそれで良いのです。（でもそのうちには習ってください）

小生の言いたいこと、「敵は見えない所に在り」。伏兵を見つけるのも勉強次第。経験がモノを言います。

この回答へのお礼

お心遣いとフォローありがとうございます。

私は中学生ではなく（しかしここでは質問者の年齢・素性は明かさなくて良いと認識しております）、数学Ⅱとしての解き方を質問しています。虚数までは習っていることが前提です。複素数やド・モルガンは数Ⅱでは出てこないと思いますが、複素数と虚数がほぼ同等の意味で使われていることを私は理解しています。

＞「他に正解がないことが証明できること｣。
＞その他には答がないということも重要なのです。

はい。ようやく、数学において大切なことを再認識することができました。ｐ＝２　以外に答えがないことを確かめなかったのがミスだ、と納得できるだけのお時間をちょうだいしました。

中学生を引き合いに出したのは、中学で二重根や二次方程式を教えるのに、X＾3＝1000　のような単純な形の三次方程式はなぜ教えないのだろう、「そうか、虚数まで考えないとイケナイからか」　と思ったからです。


まとめ的に私の疑問をもう一度挙げると、私は
実数の四則演算は実数となる、というところから、
実数の系は閉じている、と言える、
と思っていたのです。
（これが、証明が必要なことなのかどうかまで私は知識を持ち合わせていないのですが）

すなわち、「ｐは実数だ」と定義してしまえば、
ｐ＾3＝８
は実数どうしの掛け算ですから、答えは実数の範囲で収まる（８となる）と認識していました。
そこへ、「上の式のように３乗の答えが８となるような、ｐの解は、これもまた実数の範囲で収まる」　という私の思い込みが重なったのです。
どうやら誤解であった、と納得できました。

あくまで、実数どうしの計算は実数になる、ということであっても、
実数ｐ　についての方程式　の解は、実数以外になってしまうことを考慮しないといけないのですね。もちろん、ｐが虚数となる場合には、「解としては実数という条件を満たさないから不適」　ということで。

問題集の解答で、あまり見たことない、と感じたのが発端でしたが、今では　「当たり前のように、こうしなければならない」と納得できました。ありがとうございました。

お礼日時：2016/02/18 06:51

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/10 23:12

>例えPは実数とされている場合であっても、

>式を解く際には虚数まで含めて解の存在を考える必要がある、
>という解釈で合っていますでしょうか。

合ってないですね。
誰もそんなこと言ってないです。全く。

実数解がー個で有ることを示す必要が有るということです。

この回答へのお礼

まず、自明とか一瞬で解けるとか言うことについてですが、数学の解答で「自明」という言葉は聞いたことがあるので、どういうときは自明と言ってよくて、どういうときは自明としては「解答として不充分」なのか、わからずじまいです。

＞誰もそんなこと言ってないです。全く。

そういう言い方をするなら、無理して回答者をなさらなくてけっこうですよ。
対話式で、こういうことですか？と聞き返しているだけですから、こちらの質問の意図を汲むことが「できた」人だけ回答をくださったらありがたいことで、質問自体を捉えることができていない人にまで回答は求めていませんし、無理に参加してこられるのは不愉快です。

＞実数解がー個で有ることを示す必要が有るということです。

お恥ずかしながらそこが理解できていなかったから、「どうしてこういう疑問が生じるのでしょう」という意味合いも含めて質問を繰り返させていただいたのですが・・・。
他の方へのお礼欄も含めて読んでくださっていたようなので、お礼申し上げますが、
「まだ理解できないのか」といらつかれても、こちらもとまどうばかりです。

お礼日時：2016/02/18 07:01

No.9 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/02/10 13:08

これで最後にしましょう。

>>最大の表現については、重解の場合は１つとして数えることも多々ある

最近の高校では「解」と言うんですね。昔は「根：コン」と言っていて、
解と根は違うので、解は「最大」で正しいです。根なら「必ず」。

根：Ｆ(Ｘ)＝ａ0Ｘｎ＋ａ1Ｘn-1＋・・・＋ａn-1Ｘ＋ａn
　　＝ａ0(Ｘ－α1)(Ｘ－α2)・・・(Ｘ－αn)
　　Ｆ(Ｘ)＝０ の根とは、α1、α2、・・・、αn　のこと

解：Ｆ(Ｘ)＝０ の解とは、Ｆ( α )＝０ となるような数 α のこと

(Ｘ－１)^2＝０　の場合
解は、Ｘ＝１　ただ１個
根は、Ｘ＝１，１　の２個（または、　１（重根））

解は、Ｘ＝１　ただ１個ですが、学校では「重解」とも言う様で、解の定義からして重解という表現はしっくり来ませんね。
まだ根の名残が混ざっている様に感じます。

この回答へのお礼

補足ありがとうございます。

根・・・聞いたことあるような。ないような。でも、現在は「教えて」はいないと思います。
歴史的経緯を解説してくださったおかげで、解の個数について、すっきり理解できました。

お礼日時：2016/02/12 21:13

No.8 回答者： m-jiro 回答日時： 2016/02/09 18:15

他に答えがないことに言及せねばなりません。

Q=P^3　は３次方程式ですから解は３個あります。Ｐ＝２以外の解は虚数になるのでこの問題の解にはならないことを何らかの形で言っておかねばなりません。
因数分解して数式で示せばベストでしょうが、少なくとも「他の２個の解は虚数なので適さない」と書かねばなりません（このように書いて採点者が納得するかどうかは別ですが）。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

まだもやもやは残っています。

P＾3＝8
を解く際に　３乗根を取る
と、P＝2が出てくるわけですが、
３乗根以外の解まで考え「ないといけない」理由が、まだ明確にはつかめていません。

中学で３次式をやらないのは、虚数を扱わないから、
という理由なのでしょうか？
P＾3＝8　の解として一つ　P=2　を見つけたときに、「これは重解か？　重解ではない。あと２つはどこ行った？」　と考えるのが必須、
という理解で合っていますか？

つまり、
X＾3＝1000、Xは整数
という例題の場合、X＝10を見つけただけで喜ぶな、と？

私が、「X＾2＋10X+100＝(X+5)^2+75>0」と丁寧に解いている解答なんて見たことない、と思っているだけでしょうか。

そして上のP＾3＝8の場合でも、私は「Pは実数と定義されているのだから、虚数解の存在そのものを考える必要がない」という前提から頭が抜け出せずにいるのでしょうが、例えPは実数とされている場合であっても、式を解く際には虚数まで含めて解の存在を考える必要がある、という解釈で合っていますでしょうか。
そういう理由で、X＝10の場合は、整数にまで限定して例を挙げ直してみたのです。

疑問は尽きません。すみません。

お礼日時：2016/02/10 12:39

No.7 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/02/09 12:29

そんなに難しく、込み入った考え方しなくて良いと思うけど。

元々の設問は
Y=X^3+A*X+2 が Y=9X-14 に接するように、定数Aの値を定めよ。

で、候補が３組ある訳だから、その中で実数解は「これです」と言うだけなんでしょう？

P^ｎ=2^n　（Pは実数）の答えは、
ｎが奇数のとき　P=2だけ
ｎが偶数のとき　P=2，-2　ですね。

これは自明では無いので、解答用紙に「P^ｎ=2^n　（Pは実数）の答えは、ｎが奇数のとき　P=2だけだから・・・２」と書いても通用しない。
チャント証明を書かないとイケナイ。

そんな手間隙かけないで、実数解は１個と簡単に確認書きすれば済むでしょう？

n次方程式には解は「最大」n個　⇒「最大」では無く、必ずn個。

この回答へのお礼

再度お付き合いありがとうございます。
手間暇の話をすれば、
私は
　　　P＾3＝8　←→　P=2
と書くのがシンプルだと思っていたので、
　　　P＾3-8＝0　を因数分解する
ということ自体が一手間増えて、「実数解は１個と確認書きする」だけで簡単、というよりは多少わずらわしく感じております。
でも必須なのですね。

最大の表現については、重解の場合は１つとして数えることも多々あると私は認識しています（もちろん、二重解は２つの解が重なって１つになったもの、三重解は３つが１つになったもの）。
P＝2　については重解ではないので、残り2つも考えろ、ということをおっしゃってくださっているのですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2016/02/10 12:18

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/09 05:25

>ただ、どこから、「自明」と言えるのでしょう。

試験の回答としては何も説明しないのはやり過ぎでしょう。
きちんと可能性は潰すべきです。

ここのQ&Aの回答としてなら問題ないと思います。
ここは厳密な解答を書く場所ではなく、解くための方針が
伝われば充分です。

この回答へのお礼

度々お付き合いくださいましてありがとうございます。
まず私が「数学Ⅱは、虚数を扱えない」と言ったのは誤りでした。虚数まで拡げて高次方程式を解く必要があるのですね。

ただ、
P＾3＝8
を解く際に　３乗根を取るのはダメなのかな
等の素朴な疑問自体は未だに未解決で残っています。

お礼日時：2016/02/10 12:01

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/08 19:20

Pの実数解が一つであることを答に示す必要は有るでしょう。

やり方はなんでもよいです。ド・モアブルとか、
y=x^3 はxが実数の時単調増加とか・・・

「一瞬で」はよいけど、その理由をかかないと伝わらないです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
もし私がまと外れなことを言っているのだとしたら申し訳ありません。
ご指摘の通り、私が「一瞬で」と言っていても、単調増加などについての言及がないのは舌足らずだと感じています。
ただ、どこから、「自明」と言えるのでしょう。

他の方へのお礼欄でも別の例として
（Xが実数のとき）　X＾3＝1　を解け
を挙げさせていただきました。
何かの問題、特に３次関数とグラフの問題を解いているときに
　　　X＾3＝1
まで行き着いたら、
　　　よって　X＝1
と進めませんか？
わざわざ
　　　(X-1)(X^2+X+1)＝0
と因数分解し、
　　X^2+X+1＝(X+1/2)^2+3/4
というように、0にはならないことに言及することが必須なのでしょうか？
（いきなり「よって　X＝1」とした人は舌足らず、ということになりますか？）


「ド・モアブル」は「あくまで一例」としてご厚意で挙げてくださったのだと思いますが、でも私は今まで、ド・モアブルの定理は
　　　数学Ⅲで、実数も複素数として表すことができる、
ということまで拡張したとき、つまり、虚数ありきのとき、に初めて使うものだと認識していました。
今実数のみの話をしているとき、ド・モアブルまで使った方が良いですか？　なんとなく、流れに違和感を感じてしまいます。

数学Ⅱは、「虚数を扱えないからしかたなく」さまざまな議論をすっ飛ばしているのでしょうか。私は、実数であるという条件の下では
　　　X＾3＝1　←→　X＝1　　互いに必要十分条件
と思っていました。
もちろん数学には、「数学Ⅱ」とか「数学Ⅲ」とか「国境」みたいなものはないのが現実でしょうけど、私の誤解？がどこから始まっているのか、もう少しご解説いただければ幸いです。

お礼日時：2016/02/09 01:13

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/02/08 17:35

>>因数分解する必然性

P^3=8の解はp=2だけでは無いから。
2は一つの解に過ぎず、他に２つ解がある。
n次方程式には解はn個あるから。

例えばP^2=4の答えはp=2だけでは無いでしょう？
p=-2も答え。

この回答へのお礼

再回答ありがとうございます。

＞複素数の範囲で３個ある、と言う事。

n次方程式には解は「最大」n個ありますね。それは私もいつも留意しています。
P^ｎ=2^n　（Pは実数）の答えは、
ｎが奇数のとき　P=2だけ
ｎが偶数のとき　P=2，-2　ですね。

奇数のとき、P＝2　以外の実数解を、t_fumiaki さんは探しますか？

私は、
Pを実数とするとき
A：　P^3=2^3　　と　B：　P＝2　　は同値、必要十分
と思っているんです。
でも
t_fumiaki さんは
　　　B→A　は成り立つけど　A→B　は成り立たないかも知れない、AはBの必要条件に過ぎない可能性がある、ということを検証しないといけない、
とおっしゃっているのでしょうか。


私が出した問題は、実は、解き方そのものは質問サイトに４、５件上がっていましたが、いずれの回答者さんも　P^3=8　に似たような式に行き着いたあと　P＝2　をそのまま導いていて、因数分解している人は一人もいませんでした。

Pを実数として定義していても、「複素数の範囲で３個ある、と言う事」まで考えないといけない理由がわからないんです。
Q＝P＾3　のグラフが単調増加であることなどは、私も説明不足ですけれど、
（Xが実数のとき）　X＾3＝1　よって　X＝1
としている回答は皆、「X＝1　以外の実数があるかどうかを探していない。」「X＾2+X+1＝0　の実数解がないことを証明していない。」ということなのでしょうか。

理解が悪くてすみません、よろしくお願いします。

お礼日時：2016/02/09 00:52

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/08 15:31

うん? 「まだ他の解に対する考慮が足りない」とな?

(7) から「あとは(5)に代入するだけで終わり」としたとして, いったいどこで
他の解に対して考慮
しているというんだい?

この回答へのお礼

Tacosanはほぼいつもなれなれしいですな。
しかも日本語が読めていらっしゃらない。ずれているよ。あるいは揚げ足取りなのか。

お礼日時：2016/02/10 11:46