数学の問題がわかりません。

f(x,y)=4(x^2+xy+y^2)-11(x+y)+6のとき、
f(x,y)=0かつx<yを満たす整数x,yの組をすべて求めよ

No.3 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/04/22 11:24

4(x^2+xy+y^2)-11(x+y)+6=0をxの実数条件から

xの２次方程式の判別式D=-48y^2+88y+25≧0
これからyの範囲を求めると　-1/4≦y≦25/12
yの整数条件より　0≦y≦2 …(1)

同様に
4(x^2+xy+y^2)-11(x+y)+6=0をyの実数条件から
yの２次方程式の判別式D=-48x^2+88x+25≧0
これからxの範囲を求めると　-1/4≦x≦25/12
xの整数条件より　0≦x≦2 …(2)

(1),(2)を同時に満たし、かつ、y>xを満たすx,yの組は
(x,y)=(0,1),(0,2),(1,2)
の３組のみ。
この３組についてf(x,y)=0を満たすものを探せば良い。

ｆ（ｘ,ｙ）=4(x^2+xy+y^2)-11(x+y)+6
f(0,1)=4-11+6=-1≠0
f(1,2)=4(1+2+4)-11(1+2)+6=1≠0
f(0,2)=16-22+6=0 整数条件を満たす。

条件を満たす(x,y)の組は(0,2)のみ。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2014/04/22 10:24

x+y=p,xy=q　　　　(1)

とすると

f(x,y)=4(x^2+xy+y^2)-11(x+y)+6=0は

4(p^2-q)-11p+6=0

q=p^2-11p/4+3/2 (2)

pq平面上にこの曲線を描くこと。

曲線は放物線で

q=(p-11/8)^2-(5/8)^2であるから

中心軸がp=11/8,頂点が(11/8,25/64),下に凸の放物線。

q=0とおくと

p^2-11p/4+3/2=0

4p^2-11p+6=0

(4p-3)(p-2)=0

よって

p=4/3,2でp軸と交わる。

(1)のように置いたとき忘れてはならないのはx,yの実数条件である。

x,yを解とする２次方程式は

t^2-pt+q=0

の解として与えられ、解x,yが実数になることから

判別式D=p^2-4q≧0 　　　(3)

(1)よりx,yが整数のとき、p,qも整数。(2)、(3)をみたす整数p,qが解である。

(3)も図示し、(3)をみたす(2)の範囲を確認すること。

(2)，(3)の交点は

q=p^2-11p/4+3/2

q=p^2/4

を連立して

p^2/4=p^2-11p/4+3/2

3p^2-11p+6=0

(3p-2)(p-3)=0

よって交点は

p=2/3,3

従って

p=1,2,3が解の候補である。

(1)p=1の時、(2)よりq=-1/4

p,qは整数であるのでこれは解ではない。

(2)p=2の時、(2)よりq=0

(1)より

x+y=2,xy=0

x,yを解とする方程式は

t^2-2t=0

t=0,2

x=0,y=2またはx=2,y=0は解である。

(3)p=3の時、(2)よりq=9/4

p,qは整数であるのでこれは解ではない。


以上より

解(x,y)は(x,y)=(0,2)又は(x,y)=(2,0)

No.1 回答者： kamikami30 回答日時： 2014/04/22 09:37

質問の内容がわかりません。

質問から分かったことは、質問者は数学の問題が分からない点と、数学の問題が書いてあることでした。

基本的に努力が感じられない人の助けはしたくないので、丸投げには否定的です。

中にはこの質問にもエスパー解釈して回答してくれる方もいるかもしれませんが、すぐに回答が欲しいにも関わらず、すぐに回答がもらえるであろう質問方法をとらない点は意味不明です。

私からは以上です。