確率 玉について

袋の中に白玉10個、黒玉60個入っている。
この袋の中から1個ずつ40回取り出す時、白玉が何回取り出される確率が最も多いか、求める問題です。

(1)取り出した玉を袋に戻す時
(2)取り出した玉を袋に戻さない

白玉がn回取り出されたときの確率Pnは
Pn=40Cn *{(10/70)＾n}*{(60/70)＾(40-n)}
からどのように考えるのか分かりません。

参考書の解き方には
参考の答えによると
(Pn＋1)/Pnで求めるらしいのですがなんでこんな形になるのかさっぱり分かりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： 2hen6 回答日時： 2007/03/23 17:06

わたしの回答とKamoLifeさんの回答にさらに補足しておきますね。

まず、ｑｎ(0≦ｎ≦10)なのになぜｎ≦9　で計算するかですが、
上の(0≦ｎ≦10)はｑｎがｑ0～ｑ10　までありますよ、という意味です。
でも計算の過程ではｑ(n+1)を使っているので、ｎに代入可能な数字を
ｎ≦9にしないと、ｑ0～ｑ10以外のものが出てきてしまいます。
具体的に言うと、ｑ(n+1)にｎ＝10を入れると、存在しないｑ11なんてものが出てきてしまうってっことです。
計算でｎ≦9とするのはこのためです。

＞q(n＋1)/qnは<1について調べなくてもいいのですか？
　〔{10 C （n＋1}*{60 C (40-n-1)}〕/(10 C n)*(60 C (40-n))≧1となることがよくわかりませｎ

≧１だけを調べるだけでよいのは、≧１になるもの以外は全部＜１となるからです。
〔{10 C （n＋1}*{60 C (40-n-1)}〕/(10 C n)*(60 C (40-n))≧1
つまり、q(n＋1)/qn≧1
を調べることで、
q(n＋1)/qn≧1　となるのは(計算すると)
ｎ≧379/72　→ｎ＝6、7、8、9とわかり、逆に
q(n＋1)/qn＜1　　となるのは、計算しなくても、ｎ≧379/72以外全部なので、
ｎ＜379/72　→ｎ＝0、1、2、3、4、5とわかります。

また、「最小のｎ」という記述は、
　q(n＋1)/qn≧1　となる最小のｎ
→ｎ≧379/72　　となる最小のｎ、
つまりどのｎから≧1と＜1が入れ替わるのかを調べよう、という意味を持ちます。
この書き方をすれば、ｎ＝6　つまり≧1と＜1が入れ替わる所だけがわかり、そこさえわかれば答えにたどり着ける、ということなのです。

この回答への補足

Pn　 = {10Cn*60C(40-n)}/70C40
の60C(40-n)}はどのようにして計算するのでしょうか

Pn+1 = {10Cn+1*60C(40-n-1)}/70C40
同様に60C(40-n-1)}はどうのようにして計算するのでしょうか？

補足日時：2007/03/23 21:40

No.4 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2007/03/25 03:22

正数からなる有限数列の最大値、最小値を求めるとき次のようなことが考えられます.

a(i)>0 (i=0,・・・,n) があるとして
i=1,・・・,n-1に対して
a(i):極大 ⇔ a(i-1)<=a(i)>=a(i+1) ⇔ a(i)/a(i-1)>=1,a(i+1)/a(i)<=1
a(i):極小 ⇔ a(i-1)>=a(i)<=a(i+1) ⇔ a(i)/a(i-1)<=1,a(i+1)/a(i)>=1
まず、これを解いて極大や極小を求め、それと初項、末項を合わせた範囲で最大や最小になるものが数列の最大や最小になります

この回答への補足

みなさん、どうもありがとうございます。
ご連絡が遅くなってすいません。
とても参考になりました

補足日時：2007/03/30 13:53

No.2 回答者： KamoLife 回答日時： 2007/03/23 05:15

2hen6氏の回答に無い部分だけ補足させていただきます。

（１）
P[n+1]=40Cn+1 * (10/70)＾(n+1) * (60/70)＾(40-{n+1})
P[n]　=40Cn　 * (10/70)＾n　　 * (60/70)＾(40-n)

各項に分けて考えてみましょう。
まず１項目。「組み合わせの数」の定義より、
40Cn　= {40*39*…*(40-n+1)} / {n*(n-1)*…*2*1}
40Cn+1= {40*39*…*(40-n+1)*(40-n)} / {(n+1)*n*(n-1)*…*2*1}
となるので、 40Cn+1/40Cn = (40-n)/(n+1) となります。

残りの項は説明不要とは思いますが、
{(10/70)＾(n+1)} / {(10/70)＾n} = 1/7
{(60/70)＾(40-{n+1})} / {(60/70)＾(40-n)} = 7/6 となります。
（分からない場合は、「累乗の数」について勉強し直すことをお勧めします。）

そして、P[n+1]/P[n]はこれらを全て掛け合わせた結果、
つまり{(40-n)/(n+1)}*(1/7)*(7/6)= (40-n)/6(n+1) となるのです。

後は、(40-n)/6(n+1)≦１となる最小の整数nを求めてやればＯＫです。
この場合、n≧34/7（=4.857…）となるので、n=5の時Pnが最大になります。

（２）
Pn　 = {10Cn*60C(40-n)}/70C40
Pn+1 = {10Cn+1*60C(40-n-1)}/70C40
過程は省略して、
Pn+1/Pn=(10-n)(40-n)/(n+1)(n+21)≦１となる最小の整数nを求めると、
n≧379/72（=5.2638…）なので、答えはn=6となります。

この回答への補足

40Cn　= {40*39*…*(40-n+1)} / {n*(n-1)*…*2*1}
の分子ですが 40*39*…*２＊１と考えてもいいですか？

補足日時：2007/03/23 21:26

No.1 回答者： 2hen6 回答日時： 2007/03/22 00:53

(Pn＋1)がPの右下にｎ+１がついている状況だと思うので、その前提で話をさせていただきます。

確率Pｎの式までがわかるのでしたら、あとはPｎが最大となるようなｎの値を求めれば、それが答えとなります。
40Cｎなどの組み合わせの計算を含んだ式の最大値を求める場合、
(Pn＋1)/Pnの形がよく使われます。
この式はｎ回の時の確率とｎ+１回の時の確率を比較して、どちらが大きいか調べるもので、
(Pn＋1)/Pn＞１　ならば　Pｎ+1　の確率のほうが大きく、
(Pn＋1)/Pn＜１　ならば　Pｎ　　の確率のほうが大きいことがわかります。
(Pn＋1)/Pn　の計算そのものは組み合わせのCやｎ乗などの指数がうまく約分されて、結果が簡単な分数式として出てきます。
(１)の問題の場合、結果は(Pn＋1)/Pn　=(40-ｎ)/6(ｎ+１)　となるはずです。
この式のｎに数字を代入していき、(0≦ｎ≦10、ｎは整数)
(Pn＋1)/Pn＞１　と　(Pn＋1)/Pn＜１　が入れ替わるところを探してやります(ここが重要です)。
ｎ=４まで　＞１　、ｎ=５からは　＜１　となります。
この代入した結果を全てまとめて一つの式にすると、
P1<P2<…<P5>P6>…>P10
となり、P5のとき、つまり白球が５回取り出される確率が最も大きいとわかります。

(２)はPnの式が変わってきますが、考え方は同じなので、やってみてください。

この回答への補足

Pn＋1)/Pn　=(40-ｎ)/6(ｎ+１)　が分かりません
40 C ｎ＋1
(1/7)＾(n＋1)
(6/7)＾{40-(n＋1)}
40 C n
(1/7)＾n
(6/7)＾(40-n)
はどのように変形するのですか？

補足日時：2007/03/22 22:24

この回答へのお礼

（２）白玉がn回取り出される確率のとき
qn(0≦n≦10)とおくと
どうして求める時はn≦9とおくのですか？

qn≦q(n＋1) (n＋1)は下と現われるのですか？
q(n＋1)/qnは<1について調べなくてもいいのですか？
〔{10 C （n＋1}*{60 C (40-n-1)}〕/(10 C n)*(60 C (40-n))≧1となることがよくわかりませｎ
↑の式を計算するとどうやったら379/72になるのかわかりません

お礼日時：2007/03/22 22:40