実験データからグラフを出してそのグラフから式を導き出したいのですが見当がつきませんよい方法があったら教えて下さい多分対数の式になると思われるグラフなので対数の式の最小ニ乗法のやり方を知ってる方よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

片対数なら全くsiegmund先生の仰る通りです。



しかし、もし両対数で線形化される場合、すなわち:
「測定値x[n],y[n] (n=1,2,...)が与えられ、y[n]に含まれる誤差をε[n]とするとき
yn=f(x[n])+ε[n]
であり、ただしモデルfは、その対数ln(f)が未知のパラメータA,B,C..の一次式になっている、例えば
ln(f(x[n])) =Aln(x[n])+Bx[n]+C (lnは自然対数)
である。」
と表されるような場合(モデルの右辺はもっと項が多くても少なくても良い)、つまりこの例なら
f(x[n]) = (x[n]^A)exp(B x[n]+C) (expは指数関数)
ということになりますが、その場合には
Y[n] = y[n]ln(y[n])
X1[n] = y[n]ln(x[n])
X2[n] =y[n] x[n]
X3[n] = y[n]
と置き換えて、
Y[n] =A X1[n]+B X2[n]+C X3[n]+誤差
という線形最小二乗法の問題を普通に解くと良いです。こうすれば手間をほとんど掛けずに非線形最小二乗法に近い性能を出すことが出来ます。

なぜなら、|ε[n]|<<y[n]のときには
ln(f(x[n]))-ln(y[n]) = ln((y[n]-ε[n])/y[n]) = ln(1-ε[n]/y[n]) ≒-ε[n]/y[n]
が成り立つからです。(|x|<<1のときln(1+x)≒xとなるのはグラフを描いてみれば分かります。)

という訳で、「対数の式」というだけじゃ分かりません。予想されるモデルの式を具体的に補足していただければ、もうちょっとお手伝いできるかも知れません。(ちなみに上記の例のfは gamma-shaped functionと呼ばれる、良く出てくるモデルです。)
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対数の式というのがよくわかりませんが,


y = a log x + b
のようなことですか?
それなら,log x = u とおいて u を測定値と思いなおせば,
y = au + b
で,簡単な最小2乗法になりますが....
y = au + b の最小2乗法フィットなら
物理学の1月5日の質問 No.24627 の回答で
yoichiro-ito さんが詳しく書かれています.

うるさいこと言えば,生の x の測定値の Gauss 分布仮定と
対数をとった u = log x の Gauss 分布仮定は違うんですが
通常気にしません.
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Aベストアンサー

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Q両対数グラフの傾きと切片から近似式を求めたい

今晩は。よろしくお願いします。
カテゴリー違いでしたらごめんなさい。

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エクセルを用いて自分で求めてみました。

X     Y
1.30E+15   3.5
4.8E+15   1
1E+16   0.5

まず、この値を用いてエクセルで両対数グラフを描きました。
次に、累乗近似の近似曲線を描き、その数式を表示させました。

y = 9E+14x-0.95

となりました。
これは
y=9・10^(14・x^(-0.95))

ということでいいのでしょうか?

また上式は上記の3点を通る近似式としてよいのでしょうか?
でも何度検算しても
  x=1.30E+15 y=3.5
が求まりません。
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という式がそもそも間違っているのでしょうか?


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 としてよいのでしょうか。
 また、検算をする際、上式に(1.30E+15、3.5)を代入する際は
(X、Y)になるのでしょうか?それとも(x、y)ですか?
  X=logx Y=logy
を考えないといけないのでしょうか


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どうぞアドバイスをください。

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次に、累乗近似の近似曲線を描き、その数式を表示させました。

y = 9E+14x-0.95

となりました。
これは
y=9・10^(14・x^(-0.95))

ということでいいのでしょうか?

...続きを読む

Aベストアンサー

>y = 9E+14x-0.95
実際にやってみました。結果は y = 9E+14x-0.9544 ですね。これは
( 9×10^14 )*x^(-0.9544) または ( 9×10^14 )/x^0.9544 という意味です。y=9・10^(14・x^(-0.95))は間違っています。excel で検算するのなら =9e14*(1.4e15)^(-0.9544) をコピーしてシートに貼り付けて Enter を押して実行してください。結果は3.1523392 となると思います。これは 3.5 とはちょっと違いますが、近似曲線なのである程度仕方ない(厳密に合うわけではない)です。

まず、最初の質問の回答だけしておきます。

Q両対数グラフの直線の近似式の求め方は?

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Aベストアンサー

#1です。

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A#1は yを求める式でしたね。失礼しました。

>log(y)=0.47384297843776log(x)+1.024960141895009
この式をxについて解けば
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Q【数学・乗法公式の話】 ちなみに下のような問題、乗法公式を使えばすぐできるよね。 ・正方形の形を

【数学・乗法公式の話】

ちなみに下のような問題、乗法公式を使えばすぐできるよね。

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Aベストアンサー

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両方ならさらに5%×5%分が増える。
 5%+5%+(5%×5%)
=10%+(0.25%)
=10.25%
ということ。
これは検算に使う。

乗算公式なら、
全体は、
(1+0.05)×(1+0.05)
=1²+(1×0.05+1×0.05)+0.05²
=1.1025
に増える。
従って増分は、
 1.1025-1
=0.1025
=10.25%


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