因数分解

x^4-7x^2+1という問題で、
途中式が(x^2)^2+2x^2+1を経て(x^2+1)^2-9x^2となるみたいなのですが、
なぜそうなるのかがわかりません。
与式の7x^2はどこにいってしまったのでしょうか。
あと、３つ目の式の9x^2はどこからでてくるのでしょうか。
教えてください、お願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/05/17 23:10

まず、式を整理すると以下のようになります。

x^4 - 7x^2 + 1
= (x^4 + 1) - 7x^2

そして、()の部分を平方式にするために、
無理矢理()に2x^2を足して、カッコ外には2x^2を引きます。
そうすると、

=(x^4 + 2x^2 + 1) - 7x^2 - 2x^2
=(x^4 + 2x^2 + 1) - 9x^2

となります。
後は、()の部分を平方式にすれば、

=(x^2 + 1)^2 - 9x^2

になります。

No.5 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/05/17 23:28

ーーー

これは複２次式と称される一連の中でも難解な形です。
基本形としては、（Ｘ＾４）＋４
これを先にやらないと、意味不明らしいです。

Ｐ＝（Ｘ＾４）＋４
まともには因数分解出来ぬため、
技巧を施す事になります。
技巧ですので、何故上手く行くのかは分かりません。
Ｐ＝（Ｘ＾４）＋４＋４（Ｘ＾２）ー４（Ｘ＾２）
この＜同じ物を足して引く＞のは他にもあるようです。
何故、それが４（Ｘ＾２）であるかは、丁寧には書けませんが、結果として【（Ｘ＾４）＋４（Ｘ＾２）＋４】を得たいと。
順序を入れ替えて、
Ｐ
＝【（Ｘ＾４）＋４（Ｘ＾２）＋４】ー【４（Ｘ＾２）】
＝【（Ｘ＾２）＋２】＾２ー【２Ｘ】＾２
御馴染の（Ａ＾２）－（Ｂ＾２）。あとは・・・
＝【（Ｘ＾２）＋２Ｘ＋２】【（Ｘ＾２）ー２Ｘ＋２】
複素数が既知ならば、＜指定があるはずで＞
さらに続けて
＝【・・・】【・・・】【・・・】【・・・】
ですが。そうでは無さそうです。

４次式の因数分解の技巧として、
恒等式が既知ならば、
Ｐ＝（Ｘ＾４）＋４
＝【（Ｘ＾２）＋ＡＸ＋２】【（Ｘ＾２）＋ＢＸ＋２】
と置き、係数比較による解法もある様です。
正しくは、４＝２＊２＝４＊１＝・・・
と４とおりとなります。

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/05/17 23:20

>x^4-7x^2+1という問題で、途中式が(x^2)^2+2x^2+1を経て(x^2+1)^2-9x^2となるみたいなのですが、

そもそも、これは「因数分解」なのでしょうか?

x^2=y とおくともとの式は y^2-7y+1 だから、
　y^2-7y+1=(y+1)^2-9x
とやったのでしょうけど、
　y^2-7y+1=(y-1)^2-5x
ともできますね。

7 は平方数じゃないから駄目なのですか? この問題、まだ続きがありそうな気が..... 。

この回答への補足

すみません。
確かに続きがあるというか、
３つ目の式は答えじゃなくて途中式なんですけど、
そのあたりわたしが書かなかったせいでなんだかわからないことに;;
本には、
x^4-7x^2+1
(x^2)^2+2x^2+1
(x^2+1)^2-9x^2
(x^2+1)^2-(3x)^2
(x^2+3x+1)(x^2-3x+1)//
とあるのですが、２列目と３列目がわからないってことを言おうと思ったんです。

補足日時：2007/05/17 23:54

No.2 回答者： ko-bar-ber 回答日時： 2007/05/17 22:16

　x^4-7x^2+1

＝x^4+(2x^2-9x^2)+1　とすれば、
＝x^4+2x^2+1-9x^2
＝(x^2+1)^2-9x^2　　　になりますよ

No.1 回答者： pocopeco 回答日時： 2007/05/17 22:15

与式の7x^2はどこにいってしまったのでしょうか。

私にもわかりません。
その式は　(x^2)^2+2x^2+1-9x^2　ではないですか？

あと、３つ目の式の9x^2はどこからでてくるのでしょうか。
(x^2+1)^2-9x^2と問題分がイコールになるためには-9x^2 が必要です。