No.1ベストアンサー
- 回答日時:
方針だけでよいのなら、背理法。
つまり可分であると仮定して、稠密可算な部分集合をとって、それからたとえば対角線論法に近いようなことをやって、どんな部分列をとっても収束できないようにする。たまに共役空間(dual)を取って、とかいう議論をする場合もあるんですが、それは難しい問題の場合だけで、基本は上記のように証明するのです。
ちょっと略証も与えてみましょうか。細部は質問者様で埋めてください。稠密可算な部分集合が取れたと仮定する。それを{f_n}としよう。そこで、関数g(x)をg(n)=0(もし|f_n(n)|≧1なら)、g(n)=2(もし|f_n(n)|<1なら)を満たすC(R)の元とします。他の部分はうまく折れ線でもつなげばよろしい。そうすると作り方から||g-f_n||≧1となる。これは矛盾。
少し注意ですが、gの作り方には工夫が必要です。たとえばg(n)=f_n(n)+1と満たすようにとってもよさそうな気がしますが、こうすると||g||=∞となって、gがC(R)に入らない可能性があるんですね。まあこんな感じで他にも例を作って納得してみてください。
この回答へのお礼
お礼日時:2007/05/20 22:40
早速の回答ありがとうございます。
定義関数の部分を連続関数で近似して出来ました!
C(R)のRを上手く使ってますね。
可分でない空間を色々作ってみようと思います。
ありがとうございました。
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